Matrice cambio d base esercizio?
L'esercizio dice:
La matrice associata alla derivata, definita su $⟨e^t,1,e^(−t)⟩$ a valori in $⟨sinht,cosht⟩$, ed alle
basi ${e^t, 1, e^(−t)}$ del dominio e ${sinh t, cosh t}$ del codominio, è:
$A: ((1/2, 0, 1/2),(1/2,0,-1/2))$ $B: ((1, 1/2, 1),(0,-1,1/2))$ $D: ((1/2, 0, 2),(-1,0,-1/2))$
$C:$ nessuna delle altre
$E:$ non ben definita: uno dei due sistemi non è una base
Non so da dove partire!
La matrice associata alla derivata, definita su $⟨e^t,1,e^(−t)⟩$ a valori in $⟨sinht,cosht⟩$, ed alle
basi ${e^t, 1, e^(−t)}$ del dominio e ${sinh t, cosh t}$ del codominio, è:
$A: ((1/2, 0, 1/2),(1/2,0,-1/2))$ $B: ((1, 1/2, 1),(0,-1,1/2))$ $D: ((1/2, 0, 2),(-1,0,-1/2))$
$C:$ nessuna delle altre
$E:$ non ben definita: uno dei due sistemi non è una base
Non so da dove partire!
Risposte
Considera che $sinh(t)=1/2e^t-1/2e^(-t)$ e $cosh(t)=1/2e^t+1/2e^(-t)$
Dunque si ha $B_1={e^t,1,e^(-t)}$ e $B_2={1/2e^t-1/2e^(-t),1/2e^t+1/2e^(-t)}$
Pongo $B_2=v_1,v_2$
lo spazio in generale è quello di funzioni.
l’operatore sarà $d/dt:F_1->F_2$ dove $F_1,F_2$ sono i due spazi che stiamo considerando.
$d/dt(e^t)=e^t=v_1+v_2$
$d/dt(1)=0$
$d/dt(e^(-t))=-e^(-t)=v_1-v_2$
E quindi $A=((1,0,1),(1,0,-1))$
Però vorrei ragionarci assieme prima di prenderlo come coretto, perché è la prima volta che tratto applicazioni con spazi di funzioni in mezzo.
Dunque si ha $B_1={e^t,1,e^(-t)}$ e $B_2={1/2e^t-1/2e^(-t),1/2e^t+1/2e^(-t)}$
Pongo $B_2=v_1,v_2$
lo spazio in generale è quello di funzioni.
l’operatore sarà $d/dt:F_1->F_2$ dove $F_1,F_2$ sono i due spazi che stiamo considerando.
$d/dt(e^t)=e^t=v_1+v_2$
$d/dt(1)=0$
$d/dt(e^(-t))=-e^(-t)=v_1-v_2$
E quindi $A=((1,0,1),(1,0,-1))$
Però vorrei ragionarci assieme prima di prenderlo come coretto, perché è la prima volta che tratto applicazioni con spazi di funzioni in mezzo.
"anto_zoolander":
Considera che $sinh(t)=1/2e^t-1/2e^(-t)$ e $cosh(t)=1/2e^t+1/2e^(-t)$
Dunque si ha $B_1={e^t,1,e^(-t)}$ e $B_2={1/2e^t-1/2e^(-t),1/2e^t+1/2e^(-t)}$
Pongo $B_2=v_1,v_2$
lo spazio in generale è quello di funzioni.
l’operatore sarà $d/dt:F_1->F_2$ dove $F_1,F_2$ sono i due spazi che stiamo considerando.
$d/dt(e^t)=e^t=v_1+v_2$
$d/dt(1)=0$
$d/dt(e^(-t))=-e^(-t)=v_1-v_2$
E quindi $A=((1,0,1),(1,0,-1))$
Però vorrei ragionarci assieme prima di prenderlo come coretto, perché è la prima volta che tratto applicazioni con spazi di funzioni in mezzo.
Grazie 1000, mi è chiaro adesso.
Mi ha confuso il fatto che è stato definito il dominio come span di $
"zio_mangrovia":
È ovvio che gli elementi di uno span siano anche una base, non è vero?
Che cosa è uno span? Cosa, invece, una base?
"Magma":
[quote="zio_mangrovia"] È ovvio che gli elementi di uno span siano anche una base, non è vero?
Che cosa è uno span? Cosa, invece, una base?
[/quote]Lo span è il sottospazio generato da uno o più vettori, mentre la base è un sistema di generatori costituito da vettori linearmente indipendenti, non è così ?
"zio_mangrovia":
Lo span è il sottospazio generato da uno o più vettori, mentre la base è un sistema di generatori costituito da vettori linearmente indipendenti, non è così ?
Spesso un insieme di generatori viene definito anche insieme minimale, in quanto devono essere almeno $n$ se la dimensione del sottospazio da essi generato è, appunto, $n$.
Invece un insieme di vettori in $V$ costituiscono una base se
$1)$ tali vettori generano $V$
$2)$ tali vettori sono l.i.
Quindi cosa ne deduci?
che la dimensione della base è costituita sempre da $n$ vettori l.i. mentre un insieme di generatori può contenerne più di $n$ (dove alcuni vettori saranno combinazione lineare degli altri visto che la dimensione di $V$ è $n$). Corretto?
"zio_mangrovia":
che la dimensione della base è costituita sempre da $n$ vettori l.i. mentre un insieme di generatori può contenerne più di $n$ (dove alcuni vettori saranno combinazione lineare degli altri visto che la dimensione di $V$ è $n$). Corretto?
Piccola imprecisione: la dimensione è definita per sottospazi vettoriali, mentre per un insieme di vettori, ed in particolare per una base, per contare il numero di elementi contenuti si parla di cardinalità. Quindi la dimensione di un sottospazio è pari, per definizione, alla cardinalità di una sua base.
P.S. Aggiungo che un insieme di vettori l.i. è detto anche massimale in quanto può avere, per il lemma di Steinitz, al massimo $n$ vettori; sempre se la dimensione di tale spazio è $n$.
Tornando alla domanda di partenza
"zio_mangrovia":
È ovvio che gli elementi di uno span siano anche una base, non è vero?
Uno span non conincide con una base di un sottospazio proprio perché, in genere, contiene più vettori del dovuto.
Però da esso è possibile ricavare una base eliminando i vettori esprimibili come C.L. dei rimanenti.
compreso alla perfezione. Di nuovo grazie. Siete veramente forti.
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