Matrice cambiamento di base e trasposta
Vi scrivo perchè leggendo alcune soluzioni da un libro sono entrato ufficialmente in crisi.
Prendo ad esempio l'esercizio che trascrivo:
Sia $B={v1, v2, v3, v4}$ una base per $V$, verificare che $B'$ formata dai vettori $w1= v2 - v3, w2= 3v1 + v4, w3= -v1 + v3, w4= v2 + v4$ sia una base e scrivere poi le formule del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$
Io ho scritto la matrice $A=((0,1,-1,0),(3,0,0,1),(-1,0,1,0), (0,1,0,1))$ ho verificato che è una base ed ok.
Ora per quello che ho capito questa è anche la matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$ dunque ho pensato che quanto cercato fosse semplicemente $A^-1$ per avere $B' = BA^-1$ ... ora il libro però quel che fa è la trasposta di A, ovvero $(A^T)^-1$ per trovare le formule di cambiamento di base.
Cos'è che non ho capito ?
Prendo ad esempio l'esercizio che trascrivo:
Sia $B={v1, v2, v3, v4}$ una base per $V$, verificare che $B'$ formata dai vettori $w1= v2 - v3, w2= 3v1 + v4, w3= -v1 + v3, w4= v2 + v4$ sia una base e scrivere poi le formule del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$
Io ho scritto la matrice $A=((0,1,-1,0),(3,0,0,1),(-1,0,1,0), (0,1,0,1))$ ho verificato che è una base ed ok.
Ora per quello che ho capito questa è anche la matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$ dunque ho pensato che quanto cercato fosse semplicemente $A^-1$ per avere $B' = BA^-1$ ... ora il libro però quel che fa è la trasposta di A, ovvero $(A^T)^-1$ per trovare le formule di cambiamento di base.
Cos'è che non ho capito ?
Risposte
Niente, è solo questione di convenzioni. Tu hai sistemato i vettori sulle righe, ma evidentemente stai usando la convenzione di colonne per cui la matrice di cambiamento di base da \(B\) a \(B'\) deve essere la matrice che si porta sulle colonne i vettori di \(B'\) espressi in coordinate rispetto alla base \(B\). E quindi prima devi prendere la trasposta della matrice da te trovata.
Non ti spaventare se ti confondi con queste cose. Fanno confondere, sono proprio così, non c'è niente da fare. Oggi mi sono incagliato per ore su un passaggio di un libro di fisica proprio perché mi ero imbrogliato su questa definizione.
Non ti spaventare se ti confondi con queste cose. Fanno confondere, sono proprio così, non c'è niente da fare. Oggi mi sono incagliato per ore su un passaggio di un libro di fisica proprio perché mi ero imbrogliato su questa definizione.
"dissonance":
Niente, è solo questione di convenzioni. Tu hai sistemato i vettori sulle righe, ma evidentemente stai usando la convenzione di colonne per cui la matrice di cambiamento di base da \(B\) a \(B'\) deve essere la matrice che si porta sulle colonne i vettori di \(B'\) espressi in coordinate rispetto alla base \(B\). E quindi prima devi prendere la trasposta della matrice da te trovata.
Non ti spaventare se ti confondi con queste cose. Fanno confondere, sono proprio così, non c'è niente da fare. Oggi mi sono incagliato per ore su un passaggio di un libro di fisica proprio perché mi ero imbrogliato su questa definizione.
Scusami se rompo ancora, ma sono ancora più confuso e sopratutto sono fusissimo
Il libro fa gli stessi identici passaggi miei tranne quando arriva a calcolare la trasposta, cosa che io non ho fatto, anzi ho lasciato $A$ così com'era, mi stai quindi dicendo che le risposte sono equivalenti a tale domanda ?
No, non ti sto dicendo questo. Ti sto dicendo che, siccome per definizione la matrice di cambiamento di base si porta sulle colonne i vettori di \(B'\) espressi in coordinate rispetto alla base \(B\), ma tu li hai messi sulle righe, prima di continuare devi prendere la trasposta.
"dissonance":
No, non ti sto dicendo questo. Ti sto dicendo che, siccome per definizione la matrice di cambiamento di base si porta sulle colonne i vettori di \(B'\) espressi in coordinate rispetto alla base \(B\), ma tu li hai messi sulle righe, prima di continuare devi prendere la trasposta.
Aaaah ho capito, quindi scusa se insisto: Se originariamente avessi posto la matrice del cambiamento di base come la trasposta di quello che ho scritto (cioè mettendo le coordinate per righe) non avrei dovuto fare la trasposta poi.
Ho capito, grazie mille! Devo ricordarmi la definizione :\
Esatto. Sicuramente il libro te li ha fatti prima mettere sulle righe per stare più comodo nell'applicare l'algoritmo di Gauss. Ma volendo avresti potuto fare direttamente tutto in colonna e ti saresti risparmiato quella trasposta.
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