Matrice associata utilizzando vettori

[Ov3rlord1]

Salve, premetto che leggendo il post "Algebra Lineare for dummies" ho capito come fare la tipologia di esercizio che vi sto per proporre nel caso in cui $ R^3 $ --> $ R^3 $ oppure $ R^3 $ --> $ R^2 $.
Il problema arriva quando ho davanti un'applicazione lineare che impone $ R^2 $ --> $ R^2 $. L'esercizio è il seguente:

L'applicazione lineare $ T : R^2 -> R^2 $ soddisfa

$ T(2,3) = (8,5) $ e $ T(3,2) = (7,5) $

Scrivere la matrice associata a $ T $ utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo.
Ho provato a risolvere facendo il sistema ma mi viene un sistema irrisolvibile.

[Magma1]

[ot]Data la funzione

$ T : R^2 -> R^2 $ tale che

$ T((2),(3)) = ((8),(5)) $

$ T((3),(2)) =( (7),(5)) $

La matrice associata a $T$, rispetto alle basi canonica $mathcal(E)$, è

$M_(E E)=([T((2),(3))]_(E),[T((3),(2)) ]_E)=([((8),(5))]_(E),[((7),(5)) ]_E)=((8,7),(5,5))$

dove $[T(v)]_E$ indica le componenti dell'immagine, tramite $T$, del vettore $v$ rispetto alla base canonica $E$.[/ot]

EDIT:

Sia $ T : R^2 -> R^2 $, si consideri la base $mathcal(A):={((2),(3)),((3),(2))}$ e sia

$ T((2),(3)) = ((8),(5)) $

$ T((3),(2)) =( (7),(5)) $

La matrice associata dei vettori di $mathcal(A)$ rispetto la base $mathcal(E)$ è

$M_(E A)=([T((2),(3))]_(E),[T((3),(2)) ]_E)=([((8),(5))]_(E),[((7),(5)) ]_E)=((8,7),(5,5))$

dove $[T(a)]_E$ indica le componenti dell'immagine, tramite $T$, del vettore $a$ rispetto alla base canonica $E$.

[Ov3rlord1]

Grazie per la risposta. Ma quindi la notazione "rispetto alla base canonica" non significa che devo prendere in considerazione la matrice
$ 1 0 $
$ 0 1 $

e poi mettere a sistema? Inoltre mi è ancora poco chiaro il significato della $ E $ che tu usi come base canonica.

[Magma1]

La base canonica di $RR^2$ è $E={((1),(0)),((0),(1))}$

invece ${((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$ è la base di $M_2(RR)$

[Ov3rlord1]

Perdonami, ma adesso sono ancora più confuso. Nell'esercizio proposto bastava solo mettere nella matrice l'immagine dei due vettori dati? Se no non riesco a capire il metodo risolutivo che hai utilizzato per svolgerlo, c'è un modo generale?

[Magma1]

Nella fretta ho sbagliato io.

Allora $M_(E E)(T)$ si ottiene calcolando le immagini $T(e_1), T(e_2)$, quindi si calcolano le componenti di queste rispetto alla base canonica del codominio ed infine si incolonnano nella matrice.

Iniziamo calcolando l'immagine di $e_1$

$((1),(0))=alpha((2),(3))+beta((3),(2))$

$((1),(0))=-2/5((2),(3))+3/5((3),(2))$

aplichiamo $T$ ad ambo i membri

$T((1),(0))=T[-2/5((2),(3))]+T[3/5((3),(2))]$

per la linearità di $T$ possiamo portare fuori gli scalari

$T((1),(0))=-2/5T((2),(3))+3/5T((3),(2))=$

$=-2/5((8),(5))+3/5((7),(5))=((-(16+21)/5),(-2+3))=((1),(1))$

ora si calconno le componenti di $T((1),(0))=((1),(1))$ rispetto alla base canonica, cioè

$gamma((1),(0))+delta((0),(1))=((1),(1))$

$rArr [((1),(1))]_E:=((gamma),(delta))=((1),(1))$

per cui

$M_(E E)(T)=((gamma,?),(delta,?))=((1,?),(1,?))$

Ora continua tu

[Ov3rlord1]

Non capisco da dove vengono $ α $ e $ beta $, io di solito calcolo mettendo a sistema i vettori ponendoli uguali al rispettivo valore della base canonica.
Poi inoltre dal punto in cui tu poni $ T(1,0) = (1,1) $ mi perdo e non so come continuare

[Magma1]

"Ov3rlord":Non capisco da dove vengono $ α $ e $ beta $, io di solito calcolo mettendo a sistema i vettori ponendoli uguali al rispettivo valore della base canonica.

$alpha, beta in R$, sono cioè degli scalari.
Per scrivere la matrice $M_(E E)(T)$ occorre conoscere le immagini di $e_1, e_2$; quindi occorre scrivere $e_1, e_2$ come C.L. di $a_1, a_2$:

$ alpha((2),(3))+beta((3),(2)) =((1),(0)) hArr { ( 2alpha+3beta=1 ),( 3alpha+2beta=0 ):}$

$alpha, beta$ sono le incognite che occorre cercare per scrivere $e_1$ come C.L. dei vettori della base $mathcal(A)$.

"Ov3rlord":inoltre dal punto in cui tu poni $ T(1,0) = (1,1) $ mi perdo e non so come continuare

Una funzione $f: V->W$ si dice lineare se

$f(x+y)=f(x)+f(y), qquad AA x,y in V$
$f(ax)=af(x), qquad AA a in RR, AA x in V$[nota]Oppure, più sintetico, se $f(ax+by)=af(x)+bf(y), AA x,y in V, AAa,b in RR$[/nota]

Per cui, conoscendo la C.L. di $e_1$ rispetto alla base $mathcal(A)$ e applicando le proprietà di linearità, possiamo determinare l'immagine di $e_1$:

$ T((1),(0))=T[-2/5((2),(3))+3/5((3),(2))] $

$=T[-2/5((2),(3))]+T[3/5((3),(2))] $

$=-2/5*T[((2),(3))]+3/5*T[((3),(2))] $

$ =-2/5((8),(5))+3/5((7),(5))=((-(16+21)/5),(-2+3))=((1),(1)) $

Quindi l'immagine di $e_1$ tramite $T$ è:

$ T((1),(0))=((1),(1)) $

Ora occorrere scrivere $T(e_1)$ come C.L. dei vettori della base canonica di $RR^2$:

$x((1),(0))+y((0),(1))=((1),(1))$

sistema che ha per soluzione

${ ( x=1 ),( y=1 ):}$

ovvero

$[((1),(1))]_E=((1),(1))$

e questo vettore va messo in colonna nella matrice $M_(E E)(T)$