Matrice associata trasformazione lineare (polinomio)

[Smoke666]

Ciao a tutti, sto incontrando diverse difficoltà nel calcolo di una base del nucleo e dell'immagine della seguente trasformazione lineare:

\(\displaystyle T: \mathbb{Q}[x]_{<=2}\rightarrow \mathbb{Q}[x]_{<=3} \)
\(\displaystyle T(ax^2+bx+c) = (a-b)x^3+(2a+c)x -a+3b+c \)

So che devo sfruttare le basi canoniche, ma anche qui ho difficoltà a capire come individuarle... Qualcuno che può delucidarmi sull'argomento?

Grazie in anticipo!

[Atem1]

"Smoke666":Ciao a tutti, sto incontrando diverse difficoltà nel calcolo di una base del nucleo e dell'immagine della seguente trasformazione lineare:

\(\displaystyle T: \mathbb{Q}[x]_{<=2}\rightarrow \mathbb{Q}[x]_{<=3} \)
\(\displaystyle T(ax^2+bx+c) = (a-b)x^3+(2a+c)x -a+3b+c \)

So che devo sfruttare le basi canoniche, ma anche qui ho difficoltà a capire come individuarle... Qualcuno che può delucidarmi sull'argomento?

Grazie in anticipo!

(a, b, c) -> (a-b, 0, 2a+c, -a + 3b +c)

f(1,0,0) = (1, 0, 2, -1)
f(0,1,0) = (-1, 0, 0, 3)
f(0,0,1) = (0, 0, 1, 1)

Quindi la matrice associata è
$((1,-1,0) , (0, 0 , 0), (2,0,1), (-1,3,1))$

[Smoke666]

(a, b, c) -> (a-b, 0, 2a+c, -a + 3b +c)

f(0,0,1) = (0, 1, 1, 1) Non dovrebbe essere f(0,0,1) = (0, 0, 1, 1) ? E dunque risultare la matrice associata:

$((1,-1,0) , (0, 0 , 0), (2,0,1), (-1,3,1))$


Edit: Non avevo visto la correzione Sei stato molto chiaro, proseguo con l'esercizio e scrivo qui la soluzione completa per verificarne la correttezza!

[Atem1]

"Smoke666":(a, b, c) -> (a-b, 0, 2a+c, -a + 3b +c)

f(0,0,1) = (0, 1, 1, 1) Non dovrebbe essere f(0,0,1) = (0, 0, 1, 1) ? E dunque risultare la matrice associata:

$((1,-1,0) , (0, 0 , 0), (2,0,1), (-1,3,1))$

Sìsì hai ragione, mi sono corretto anche perchè non l'ho fatto sul foglio ma l'ho fatto direttamente qui

[Atem1]

Ora che ci penso, noi in classe siamo sempre partiti da $c+bx+ax^2$
cioè mettiamo in ordine crescente da grado minore a grado maggiore

(c, b, a) -> (-a+3b+c, 2a+c, 0, a-b)

f(1,0,0) = (1, 1, 0, 0)
f(0,1,0) = (3, 0, 0, -1)
f(0,0,1) = (-1, 2, 0, 1)

Quindi la matrice associata viene tutto all'incontrario rispetto a quella di prima
$((1,3,-1) , (1, 0 , 2) , (0,0,0) , (0,-1,1))$

E il risultato finale sarà lo stesso se ci ricordiamo che abbiamo assegnato la prima colonna al grado minore dell'indeterminata mentre nell'altra l'avevamo assegnata al grado maggiore.

[Smoke666]

Considerando la matrice associata calcolata prima, ovvero:

$((1,-1,0),(0,0,0),(2,0,1),(-1,3,1))$

Posso trovare una base del nucleo (e la sua dimensione) riducendo a scalini la matrice associata, e prendendo le colonne con gli elementi non nulli corrispondenti in A. Ovvero:

$((1,-1,0),(0,0,0),(2,0,1),(-1,3,1))$ -> $((1,-1,0),(0,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$

Quindi trovo i vettori di coordinate degli elementi di una base, ovvero:

$(1,0,2,-1),(0,0,1,1)$

Una base risulta essere:

${1+2x^2-x^3 , x^2+x^3}$

E' corretto?

[Atem1]

"Smoke666":
Quindi trovo i vettori di coordinate degli elementi di una base, ovvero:

$(1,0,2,-1),(0,0,1,1)$

Una base risulta essere:

${1+2x^2-x^3 , x^2+x^3}$

E' corretto?

Quella sarebbe una base dell'immagine, ma se ricordi in quella matrice avevamo assegnato la prima colonna al grado maggiore della X quindi se tu lavori in quel modo, una volta che arrivi a
$(1,0,2,-1),(0,0,1,1)}$
la base risulta essere
${x^3 + 2x -1, x+1}$

[Smoke666]

Ok ok, l'importante è che sia giusto il procedimento e che ne sia ragionevolmente convinto!
Svolgo nuovamente i calcoli con la matrice associata corretta, e mi ricorderò di "invertire" il polinomio!

Grazie mille!

[Atem1]

"Smoke666":

Posso trovare una base del nucleo (e la sua dimensione) riducendo a scalini la matrice associata, e prendendo le colonne con gli elementi non nulli corrispondenti in A.

Questo procedimento ti serve per trovare una base dell'Immagine, ed ad essere proprio pignoli se scrivi così dovresti prendere la seconda colonna non la terza, ma comunque dovrebbe essere lo stesso perchè anche la prima e la terza colonna sono linearmente indipendenti fra di loro quindi anche quella dovrebbe essere una base visto che le colonne della matrice generano l'immagine dunque visto che sono linearmente indipendenti + generatori dovrebbero essere una base.
Però per essere sicuro di non sbagliare prendi le colonne relative ai pivot...

Per trovare una base del nucleo devi trovare le soluzioni del sistema omogeneo associato.

"Smoke666":
$((1,-1,0),(0,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$

E comunque una delle operazioni elementari è quella di scambiare le righe quindi la matrice ridotta a gradini è questa:
$((1,-1,0),(0,2,1),(0,0,0),(0,0,0))$

Cioè il gradino verticale deve avere altezza 1, non 2...
Quelli orizzontali possono essere lunghissimi, ma in verticale il prossimo pivot è situato nella riga successiva del precedente...

[Smoke666]

Non ho effettuato lo scambio di riga per un semplice motivo: se effettuo lo scambio riducendo la matrice come la tua nell'ultimo post, con i pivot non nulli posti sulla riga 1 e 2, le colonne della matrice da prendere in considerazione sono le prime due? Ho messo la seconda per errore, avrei dovuto prendere la terza, come hai giustamente evidenziato. Tuttavia, dopo lo scambio devo considerare le prime due, anche se precedentemente la riga contenente il pivot non nullo corrispondeva alla terza riga?

[Atem1]

"Smoke666":Non ho effettuato lo scambio di riga per un semplice motivo: se effettuo lo scambio riducendo la matrice come la tua nell'ultimo post, con i pivot non nulli posti sulla riga 1 e 2, le colonne della matrice da prendere in considerazione sono le prime due? Ho messo la seconda per errore, avrei dovuto prendere la terza, come hai giustamente evidenziato. Tuttavia, dopo lo scambio devo considerare le prime due, anche se precedentemente la riga contenente il pivot non nullo corrispondeva alla terza riga?

E se il pivot si fosse trovato sulla quarta riga?
Quello che deve interessarci è la colonna dove si trova il pivot, non la riga.
Pensa ad un sistema: se hai un'equazione posta sulla seconda riga ed una posta nella prima che succede se nel tuo foglio metti quella che prima era nella prima riga sulla seconda riga e viceversa? Ad esempio se hai:
$x+8y+9z=0$
$x+3y+4z=0$
Se scambi le righe si trasforma in:
$x+3y+4z=0$
$x+8y+9z=0$
Non è cambiato nulla. Indipendentemente da quante operazioni hai effettuato su di esse.

Sulle colonne questo non puoi farlo perchè sarebbe come se tu avessi:
$x+8y+9z=0$ e scambiando la seconda colonna con la terza diventa $x+9y+8z=0$
$x+3y+4z=0$ e scambiando la seconda colonna con la terza diventa $x+4y+3z=0$
Hai scambiato la seconda colonna con la prima e ora hai due equazioni diverse.
In pratica scambiare le colonne equivale a scambiare i coefficienti alle incognite e questo naturalmente altera tutto.
Questo è il motivo per cui nella riduzione a scala puoi effettuare scambi di riga ma non di colonne.

Sia nel mio caso che nel tuo, il pivot si trova sempre sulla seconda colonna, quindi devi considerare la seconda colonna della matrice originale. Poi ripeto, nell'esercizio da te postato se vuoi trovare una base va bene anche prendere la prima e la terza colonna (nonostante il pivot si trovi sulla seconda) perchè sono generatori+indipendenti e quindi base però se ne hai tante di colonne (cioè più di 4 diventa più difficile vedere ad occhio la lineare indipendenza se e ne prendi una senza pivot poi rischi che questa sia combinazione lineare delle altre) per non sbagliare devi prendere sempre quelle relative ai pivot per essere sicuro al 100% che siano linearmente indipendenti. Anche nel caso di matrici piccole come questa è bene abituarsi a fare le cose in questo modo per poi non sbagliarsi quando ne tratti di più grandi, quindi per trovare la base prendi sempre quelle relative ai pivot e sei sicuro al 100% che è giusto.

[Atem1]

"Smoke666":
Quindi trovo i vettori di coordinate degli elementi di una base, ovvero:

$(1,0,2,-1),(0,0,1,1)$

Una base risulta essere:

${1+2x^2-x^3 , x^2+x^3}$

E' corretto?

Ok, la cosa che mi hai fatto scrivere ieri (quella sullo scambio delle righe e delle colonne) mi ha fatto pensare a come risolvere questo dubbio e cioè avresti anche potuto usare quella matrice associata che hai usato e sarebbe stato giusto se PERò avessi invertito anche qui i gradi delle incognite, cioè se ricordi in quella matrice avevamo assegnato la prima colonna al grado maggiore della X quindi se tu lavori in quel modo, una volta che arrivi a
$(1,0,2,-1),(0,0,1,1)}$
la base risulta essere
${x^3 + 2x -1, x+1}$

Quindi se lavori con questa invece:
$((1,3,-1) , (1, 0 , 2) , (0,0,0) , (0,-1,1))$ la riduci a scala e trovi $((1,3,-1) , (0, -1 , 1) , (0,0,0) , (0,0,0))$

Quindi una base risulta essere
$(-1,2,0,1),(1,1,0,0)$
cioè
${-1+2x+x^3, 1+x}$
che è esattamente quello che abbiamo ottenuto prima.
Il motivo è quello che ti avevo spiegato ieri se pensi al prodotto righe per colonne delle matrice.

Naturalmente io ho preso la prima e la terza colonna solo perchè lo avevi fatto tu, ed è giusto in questo caso, però solitamente per non sbagliare prendi sempre quelle dove ci sono i pivot, cioè in questo caso avrei dovuto prendere la prima e la seconda colonna.

Ora visto che per il teorema di nullità + rango, se n è la dimensione del dominio, che in questo caso è 3 abbiamo che
3=dim Imf+dim KerF
La dimensione dell'Immagine è 2 quindi la dimensione del Kernel è 1.
Sai che per trovare la base del nucleo bisogna trovare le soluzioni del sistema omogeneo associato, di conseguenza prima fai la riduzione a scala.
Ora se usi la tua ridotta a scala vedrai che ti risulterà $(a,b,c)=(-1/2, -1/2 , 1)$ che è anche $(1,1,-2)$ cioè $x^2+x-2$
mentre se usi la mia ridotta a scala ti risulterà $(c,b,a)=(-2,1,1)$ dunque avrai $-2+x+x^2$ che è la stessa cosa e dunque questa è la base del nucleo.
Ricordati anche che l'Immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, mentre il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio quindi è normale che per l'Immagine come base ti eran venuti dei vettori formati da 4 coordinate (avendo $Q_3$ dimensione 4 è normale che ti risultino come base espressioni di terzo grado) mentre nel nucleo ti è venuto un vettore formato da 3 coordinate essendo il dominio $Q_2$ non poteva che risultarti un'espressione di secondo grado come base.

[Smoke666]

Sei stato chiarissimo, grazie mille davvero!