Matrice associata rispetto ad un'applicazione linare

[max1494]

Ciao a tutti, sperando di non aver infranto qualche regolamento del forum, apro questo argomento chiedendovi aiuto per un esercizio che mi sta letteralmente mandando fuori di testa..
L'esercizio in questione è il seguente:

"In R3 sono dati i seguenti vettori:
v1=(3,1,0)
v2=(-1+a,0,1)
v3=(0,1,1+a) con a∈R

Sia f: R3-->R4 l'applicazione lineare così definita:

f(v1)=(1,0,0,0)
f(v2)=(0,1+a,0,1)
f(v3)=(1,2+a,0,0)

scrivere la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R3 e R4 ."

Ultima nota: in un punto precedente dell'esercizio è stato dimostrato che per qualunque valore di a, i vettori v1,v2,v3 formano una base di R3.


Vi ringrazio in anticipo

[Eavan_93]

Se lavori con la base canonica in $ R^n $ la matrice associata A è composta da vettori colonna che ti vengono fornite dalla applicazione $ f $, cioè $ f(v_1), \cdots ,f(v_3) $ sono le colonne della matrice associata a questa scelta di basi.

[max1494]

Ma scusa..quella che diresti tu non è in realtà la matrice associata per la base B=(v1,v2,v3)? anche perchè ciò che dici tu non quadra con la soluzione del mio esercizio.

[marco.bre]

Devi trovare le coordinate di $e_1$ rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$ (sai come farlo?), mettiamo $e_1=alpha_1 v_1 + alpha_2 v_2 + alpha_3 v_3$, poi sfrutti la linearità di $f$, per cui
$f(e_1)=f(alpha_1 v_1 + alpha_2 v_2 + alpha_3 v_3)=alpha_1 f(v_1) + alpha_2 f(v_2) + alpha_3 f(v_3)$
Allo stesso modo calcoli $f(e_2)$ e $f(e_3)$ e quindi la matrice associata alla base canonica

[max1494]

L'esercizio è venuto, ti ringrazio moltissimo!