Matrice associata rispetto ad una base!
Buonasera ragazzi,
dopo varie ricerche (senza successo), eccomi qui da voi!
L'esercizio mi chiede :
Sullo spazio vettoriale $R4$ sono assegnati i vettori $v1 = (1,0,0,0)$, $v2 = (1,1,0,0)$, $v3 = (1,1,1,0)$ e $v4 = (0,-1, 1, 1)$ e l’applicazione lineare $f : R^4->R^4$ definita dalle relazioni :
$f (v1) = v2 + v4$
$f (v2) = v1 + v4$
$f (v3) = v2 + hv3 + v4$
$f(v4) = 2v4$
con h parametro reale.
1) Studiare l’applicazione lineare f al variare di h ∈ R.
ecc ecc....
Il mio problema non è studiare l'applicazione ma, come da oggetto, riuscire a trovare la matrice associata rispetto alla base $A=(v1,v2,v3,v4)$ dato che questi sono vettori linearmente indipendenti.
Ho le soluzioni dell'esercizio, ma non riesco proprio a capire (e ricordare) i vari passaggi per trovare le colonne della matrice!!!
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte!
L.
dopo varie ricerche (senza successo), eccomi qui da voi!
L'esercizio mi chiede :
Sullo spazio vettoriale $R4$ sono assegnati i vettori $v1 = (1,0,0,0)$, $v2 = (1,1,0,0)$, $v3 = (1,1,1,0)$ e $v4 = (0,-1, 1, 1)$ e l’applicazione lineare $f : R^4->R^4$ definita dalle relazioni :
$f (v1) = v2 + v4$
$f (v2) = v1 + v4$
$f (v3) = v2 + hv3 + v4$
$f(v4) = 2v4$
con h parametro reale.
1) Studiare l’applicazione lineare f al variare di h ∈ R.
ecc ecc....
Il mio problema non è studiare l'applicazione ma, come da oggetto, riuscire a trovare la matrice associata rispetto alla base $A=(v1,v2,v3,v4)$ dato che questi sono vettori linearmente indipendenti.
Ho le soluzioni dell'esercizio, ma non riesco proprio a capire (e ricordare) i vari passaggi per trovare le colonne della matrice!!!
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte!
L.
Risposte
La matrice che stai cercando ha sulle colonne le componenti, rispetto alla base $A$, dell'immagine dei vettori della base stessa.
Ad esempio, tu sai che $f(v_1)=v_2 + v_4$ che in componenti (rispetto ad $A$) è $(0,1,0,1)$.
Bene, questa è proprio la prima colonna della matrice che stai cercando.
Ad esempio, tu sai che $f(v_1)=v_2 + v_4$ che in componenti (rispetto ad $A$) è $(0,1,0,1)$.
Bene, questa è proprio la prima colonna della matrice che stai cercando.
La matrice associata ad una base relativa ad un'applicazione lineare è data dalle componenti dell'immagine di ciascun vettore di base. Queste componenti ne formano le colonne.
Determinarla nel tuo caso è semplicissimo perchè l'esercizio ti ha già fornito tutto da te, senza nemmeno doverle calcolare, infatti:
$f(v_1)=v_2+v_4$, quindi la prima colonna della tua matrice sarà data da $((0),(1),(0),(1))$, in quanto rispetto alla base $v_1,v_2,v_3,v_4$ le componenti di questa immagine sono appunto $(0,1,0,1)$
$f(v_2)=v_1+v_4$, quindi la secondo colonna della tua matrice sarà $((1),(0),(0),(1))$
... continua tu!
Se hai dubbi chiedi ancora eh!
EDIT: pardon paolo, ci siamo accavallati!
Determinarla nel tuo caso è semplicissimo perchè l'esercizio ti ha già fornito tutto da te, senza nemmeno doverle calcolare, infatti:
$f(v_1)=v_2+v_4$, quindi la prima colonna della tua matrice sarà data da $((0),(1),(0),(1))$, in quanto rispetto alla base $v_1,v_2,v_3,v_4$ le componenti di questa immagine sono appunto $(0,1,0,1)$
$f(v_2)=v_1+v_4$, quindi la secondo colonna della tua matrice sarà $((1),(0),(0),(1))$
... continua tu!
Se hai dubbi chiedi ancora eh!
EDIT: pardon paolo, ci siamo accavallati!
"mistake89":
EDIT: pardon paolo, ci siamo accavallati!
Figurati
Bene.
Scusa l'ignoranza, ho visto che il risultato coincide, ma ti dispiacerebbe esporre i vari passaggi tramite i quali sei arrivato al risultato? ( per trovare le componenti rispetto ad una base sotto condizione).
Scusami per il disturbo, sarà l'ora ma non ci sto capendo un granchè!!
grazie 1000
Scusa l'ignoranza, ho visto che il risultato coincide, ma ti dispiacerebbe esporre i vari passaggi tramite i quali sei arrivato al risultato? ( per trovare le componenti rispetto ad una base sotto condizione).
Scusami per il disturbo, sarà l'ora ma non ci sto capendo un granchè!!
grazie 1000
Hai tutto qui:
Se conosci il significato di base e espressione in componenti rispetto a una base data allora dovresti vederlo subito: il vettore $f(v_1)$ risulta essere la combinazione lineare di $v_1$, $v_2$, $v_3$ e $v_4$ con coefficienti 1,0,0,1: questi coefficienti sono le componenti rispetto alla base $B=(v_1,v_2, v_3, v_4)$.
Più chiaro ora?
"loki22":
$f (v_1) = v_2 + v_4$
Se conosci il significato di base e espressione in componenti rispetto a una base data allora dovresti vederlo subito: il vettore $f(v_1)$ risulta essere la combinazione lineare di $v_1$, $v_2$, $v_3$ e $v_4$ con coefficienti 1,0,0,1: questi coefficienti sono le componenti rispetto alla base $B=(v_1,v_2, v_3, v_4)$.
Più chiaro ora?
wow!!
effettivamente era più semplice di quanto sembrasse!!!
scusatemi!
grazie 1000 ragazzi!!
a presto!!
effettivamente era più semplice di quanto sembrasse!!!
scusatemi!
grazie 1000 ragazzi!!
a presto!!
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