Matrice associata rispetto ad una base

[Frank Lioty]

Buonasera a tutti.
Ho cercato un po' dappertutto ma non mi è chiaro come si calcoli la suddetta matrice. Provo con un esempio pratico, sperando che qualcuno sappia aiutarmi a fare chiarezza

Consideriamo l'endomorfismo $ T : R^3 -> R^3 $ che, rispetto alla base standard, è rappresentato dalla matrice:

$ | ( 2 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , -2 ),( 1 , 0 , 2 ) | $

Scrivere la matrice associata all'endomorfismo T rispetto alla base data dai seguenti vettori:

$ v_1 = ( 1 , 1 , 0 ) $, $v_2 = ( 0 , 1 , 1 ) $, $ v_3 = ( 0 , 0 , 1 ) $

Essendo scritto rispetto alla base canonica sappiamo che:

$ T (x,y,z) -> ((2x+2y), (x+2y-2z), (x+2z)) $

Cerchiamo $ T(v_1) $, $ T(v_2) $, $ T(v_3) $:

$ T(v_1) = ( 4, 3, 1) $
$ T(v_2) = ( 2, 0, 2) $
$ T(v_3) = ( 0, -2, 2) $

A questo punto?

[Thyeme]

devi operare con la matrice di cambio di base! se chiamiamo $vartheta$ la nuova base, $xi$ la base canonica e $A$ la matrice rispetto alla base canonica
la matrice $alpha_(vartheta vartheta) = P^(-1)AP$ Dove $P^(-1)$ è la matrice di cambio di base dell identità $alpha_(vartheta xi) = ((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ (le colonne sono semplicemente i vettori della nuova base) e $P$ è la sua inversa..