Matrice associata e isomorfismo (ragionamento)

[parmeo]

In una parte di un esercizio mi si chiede per quali valori di a lamatrice B rappresenti un isomorfismo

$B=((0,1,a-1),(1-a,-1,0),(2-a,2a,0))$

Ho pensato che per essere un isomorfismo devo avere un omomorfismo biiettivo, quindi si passa per l'invertibilità dell'applicazione.E per essere invertibile deve avere determinante massimo.

Però questa è una mia idea e ragionamento, vorrei capire per quale motivo solido nello studio della teoria una applicazione lineare è isomorfismo se e solo se è una matrice invertibile. (E' necessaria e sufficiente?)
Mi sfugge il motivo in poche parole.

[anto_zoolander]

Basta considerare che data $L:V->W$

$L$ è automorfismo allora $dimV=dimW=n$ e in particolare $dimIm(L)=dimW$
Essendo $dimIm(L)=r(A)$ con $AinM_(n)(K)$ matrice associata a $L$
Dunque deve essere $r(A)=dimIm(L)=dimW=n$ dunque $|A|ne0$

Se $|A|ne0$ allora $r(A)=n=dimW$ quindi $L$ è suriettiva
Inoltre $n=dimV=dimKer(L)+dimIm(L)=dimKer(L)+n=>dimKer(L)=0$ pertanto $L$ è isomorfismo.

[parmeo]

Grazie:)