Matrice associata e Diagonalizzabilità

[Nik232]

Salve avrei bisogno di una mano su qualche punto di questo esercizio che ho trovato all'esame di geometria...

Sia $F: R^3->R^3$ l'endomorfismo con matrice associata rispetto alla base canonica : $ ( (1,0,2) , (-1,-1,-3) , (1,2,1) ) $
Determinare $MB(F)$ dove $B={(3,1,1)1(0,-1,1),(2,1,1)}$. Stabilire se $F$ è diagonalizzabile. Determinare due basi di $R^3$ contenenti ognuna un autovettore e contenenti autovettori distinti.

Allora per quanto riguarda la matrice associata procedo nel seguente modo:
$F((3,1,1))=3(1,-1,1)+(0,-1,2)+(2,-3,1)=(5,-7,6)$
$F((0,-1,1))=-(0,-1,2)+(2,-3,1)=(2,-2,-1)$
$F((2,1,1))=2(1,-1,1)+(0,-1,2)+(2,-3,1)=(4,-6,5)$

Scrivo la generica combinazione lineare della base:
$a(3,1,1)+b(0,-1,1)+c(2,-3,1)= (3a+2c, a-b-3c, a+b+c)$ faccio tre sistemi uno per ogni vettore precedentemente ottenuto e mi trovo la matrice associata.. è giusto questo mio procedimento???

Poi per quando riguarda se $F$ è daigonalizzabile o meno, mi sono trovato il polinomio caratteristico di $3°$ grado , lo riduco con Ruffini e ottengo : $($ $\lambda$ $- 1)$ $(-$ $\lambda$^$2$ $-3)=0$ quindi ottengono un solo autovalore cioè $\lambda$ $=1$
poiché il fattore di secondo grado ha delta minore di zero... ma come faccio a trovare due basi distinte di $R^3$ contenenti ognuna un un autovettore e contenenti autovettori distinti, se trovo un solo autovalore?? Non riesco proprio a capire... c'è un errore nell'esercizio???

[DonkeyShot93]

Non svolgo l' esercizio, ma ti dico qualche cosa.Il procedimento della matrice è giusto. Per quanto riguarda gli autovalori li ricavi dalla matrice associata rispetto alla canonica, tanto non cambiano rispetto alla base, e poi li sostituisci nel sistema lineare di tale matrice per ottenere gli autovettori. Hai uno solo autovalore reale, ovvero 1, e da qui sai che nn è diagonalizzabile perchè deve avere $n$ autovalori distinti dove $n$ è la dimensione dell' endomorfismo.
Per quanto riguarda il numero di autovettori dov' è il problema? La molteplicità algebrica di un autovettore è uguale o maggiore alla dimensione dell' autospazio di quello stesso autovettore, anzi sono uguali solo se la matrice è diagonalizzabile (per un teorema). Poichè la molteplicità dell' autovalore 1 è 1, e sai che non è diagonalizzabile, avrai un autospazio con dimensione maggiore di 1, ovvero più autovettori, quindi il fatto che tu abbia un solo autovalore non ti impedisce di trovare più autovettori distinti, tanto più che hai un' applicazione non diagonalizzabile. Teli trovi, li prendi e li completi a base di $R^3$ e il gioco è fatto. Ovviamente non se la toeria riguardo molteplicità ecc. ti confonde, puoi sempre ricavarti gli autovettori e vedere se sono linearmente indipendenti, o se nn lo sono ricavarti la base dell' autospazio.
Spero di essere stato chiaro e di non aver fatto errori nel mio ragionamento.