Matrice associata, è corretta?

[Smoke666]

Ciao a tutti, stavo svolgendo il seguente esercizio e non sono molto convinto di averlo risolto correttamente.
Sia \(\displaystyle T:\mathbb{R}_3[t]\rightarrow \mathbb{R}_3[t] \) l'endomorfismo dato da $T(p) = tp'$, con $p'$ derivata prima di p. Trovare autovalori e autovettori di T.

Dunque il mio problema risiede nel determinare la matrice associata. Ho seguito il seguente procedimento:

il generico polinomio sarà: $p(t) = at^3+bt^2+ct+d$
dunque: $T(p(t)) = t(3at^2+2bt+c) = 3at^3+2bt^2+ct$

quindi la matrice associata alla base canonica può essere determinata in questo modo:

$T(1,0,0,0) = (3,0,0,0)$
$T(0,1,0,0) = (0,2,0,0)$
$T(0,0,1,0) = (0,0,1,0)$
$T(1,0,0,1) = (0,0,0,0)$

Quindi: \(\displaystyle A=\begin{bmatrix}
3 &0 &0 &0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &0
\end{bmatrix} \)

... è corretto? Mi sembra molto "strana" come matrice...

[megaempire]

vedendo cosi su due piedi mi sembra corretta, inoltre quella che tu dici matrice strana è una matrice diagonale quindi l'endomorfismo è semplice.

[Smoke666]

Proprio perchè è diagonale che mi è sembrata troppo semplice, e quindi potenzialmente errata... E' per questo che ho chiesto a voi