Matrice associata dubbio sul procedimento

[Raiu1]

Salve a tutti ho un dubbio sul procedimento di un esercizio, scrivo la traccia:

Sia S:$ \mathbb R^3 rightarrow \ mathbb R^3$ la funzione lineare
$S(x,y,z)=(2x-2y+z;-2x+2y-3z;-2x+2y+z)$
a) Si trovi una base al nucleo di S e una base dell'immagine di S
b) Sia $\mathcal E$ la base canonica di $\mathbb R^3$ e sia $mathcal B$ la base di $R^3$ costituita dai vettori:
$v_1(1,1,0)$ $v_2(1,0,1)$ $v_3(0,1,1)$
si determini la matrice $M_\mathcal B ^\mathcal E (S)$ associata ad S.

Il mio problema è il punto due dopo aver determinato la matrice associata di S rispetto la base canonica per calcolare ker e Img procedo con il calcolare la matrice associata rispetto la base $\mathcal B$ e ottengo:
$f(1,1,0)=(2x-2y+z;-2x+2y-3z;-2x+2y+z) \rightarrow (0,0,0)$
$f(1,0,1)=(2x-2y+z;-2x+2y-3z;-2x+2y+z) \rightarrow (3,-5,-1)$
$f(0,1,1)=(2x-2y+z;-2x+2y-3z;-2x+2y+z) \rightarrow (-1,-1,3)$

Da cui la matrice

$((0,3,-1),(0,-5,-1),(0,-1,3))$

ora questo sarebbe il risultato corretto però ho visto un esercizio simile della mia professoressa e lei ha fatto una cosa del genere...EDIT:(non si è fermata alla matrice scritta sopra)

$a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)$

Da cui dovrei ricavare il sistema

$\{(a+b),(a+c),(b+c):}$

che dovrei eguagliare una volta per (0,0,0) poi per (3,-5,-1) e per (-1,-1,3)

Perchè questo passaggio esoterico?
Attendo risposte

[Raiu1]

Possibile che abbia chiesto una matrice di passaggio? Perché nella traccia dell'esercizio non c'è scritto niente