Matrice associata di un'applicazione lineare

[ryoga_ag]

Ho difficoltà con questo esercizio e non so neanche da dove cominciare:

Nello spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore uguale a due, \( R_2[x] \) , si consideri la base \( B={x^2 +1,x+1,x^2+x} \), si consideri inoltre l'applicazione lineare \( f:R_2[x] \rightarrow R_2[x] \) che ad ogni polinomio associa la sua derivata; Determinare la matrice associata ad f rispetto a questa base, determinare Kerf ed Imf ed infine discutere la diagonalizzabilità di f.

Qualcuno che mi da una spintarella nella direzione giusta?

[kobeilprofeta]

prendi gli elementi della base e calcolane le derivate, poi esprimi quest'ultime come comb lin degli elementi della base stessa.
ti faccio io l'esempio per il primo elemento: $x^2+1$.
La sua derivata è $2x$. noto che $2x=-(x^2+1)+(x+1)+(x^2+x)$, dunque le sue coordinate rispetto alla base di partenza sono $(-1,1,1)$.
ora trovo anche le coordinate degli altri due e le metto come vettori colonna nella matrice

[ryoga_ag]

Grazie! era molto più semplice di quello che sembrava
Quindi la mia matrice sarà:
\( \begin{pmatrix} -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

Quindi per calcolare ker e im e verificare la diagonalizzabilità faccio tutti i calcoli su questa matrice?

[kobeilprofeta]

yess

[ryoga_ag]

Grazie un milione!

[kobeilprofeta]

Prego