Matrice associata applicazione lineare
Prima di tutto buona domenica 
Sono incappato in questo problema, mi viene data una matrice dicendomi che è associata ad un'applicazione lineare della quale devo studiare l'iniettività, suriettività e nucleo.
Il mio problema sorge però in partenza, ho per esempio questa matrice:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(-3,-2,6,1))$
come faccio a stabilire quest'applicazione com'è fatta? Prima di tutto è da $RR^4 \to RR^3$ oppure $RR^3 \to RR^4$, come lo stabilisco? Vorrei capire solo questo perché poi lo studio delle altre cose dovrei averlo compreso abbastanza bene.
Grazie
P.S.
Se potreste darmi anche una definizione di matrice associata ad applicazione lineare ve ne sarei infinitamente grato perché credo che i miei dubbi derivano dal fatto che forse non l'ho compreso bene questo concetto.
Sono incappato in questo problema, mi viene data una matrice dicendomi che è associata ad un'applicazione lineare della quale devo studiare l'iniettività, suriettività e nucleo.
Il mio problema sorge però in partenza, ho per esempio questa matrice:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(-3,-2,6,1))$
come faccio a stabilire quest'applicazione com'è fatta? Prima di tutto è da $RR^4 \to RR^3$ oppure $RR^3 \to RR^4$, come lo stabilisco? Vorrei capire solo questo perché poi lo studio delle altre cose dovrei averlo compreso abbastanza bene.
Grazie
P.S.
Se potreste darmi anche una definizione di matrice associata ad applicazione lineare ve ne sarei infinitamente grato perché credo che i miei dubbi derivano dal fatto che forse non l'ho compreso bene questo concetto.
Risposte
Devi moltiplicare tale matrice per un generico vettore $((x), (y), (z), (t)) $. In tal modo otterrai la definizione della tue applicazione lineare. 
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=164659 guarda qui, si è parlato di matrici associate e c'è pure qualche esempio 
Grazie per la risposta, penso di aver capito un po' meglio le matrici associate (purtroppo il link non funziona), comunque per quello che ho capito dal libro: quell'applicazione dovrebbe essere: $RR^4 \to RR^3$ e per definire l'applicazione si moltiplica, come dici tu, per un vettore generico $(x, y, z, t)$ perché una delle proprietà della matrice associata ad un'applicazione lineare è quella di trasformare i vettori del dominio in quelli del codominio, se ad esempio $A$ è la matrice associata all'applicazione precedente saprò che un generico vettore $(x_1, x_2, x_3, x_4) in RR^4$ moltiplicato $A$ mi restituisce un vettore $(y_1, y_2, y_3) in RR^3$ del codominio dell'applicazione, giusto?
Spero di essere stato chiaro nello spiegare la mia idea, sono sicuro che c'è un modo molto più rigoroso per descriverlo.
Spero di essere stato chiaro nello spiegare la mia idea, sono sicuro che c'è un modo molto più rigoroso per descriverlo.
L'idea c'è. e il link a me pare funzionare
In pratica, ciò significa che data un'applicazione lineare $phi:V rightarrow W$, che opera su due spazi vettoriali $V$ e $W$, detta $A$ la sua matrice associata rispetto alla base naturale (o canonica), scrivere $phi(v)$, con $v in V$ è equivalente a compiere il prodotto matrice-vettore $A*v$. [Nel link c'è un esercizio che mostra questo aspetto].
Il prodotto chiaramente mi fornirà un vettore del codominio o "spazio di arrivo".
Visto che la matrice ora ce l'hai...
Sapresti trovare il nucleo dell'applicazione associata ?
Una volta, determinato, potrai già rispondere alle altre domande
Sai cosa significa che un 'applicazione è iniettiva ?
Inoltre, vale un tantissimo teorema che lega le dimensione dello spazio di partenza, del nucleo (o $ker$) e dell'immagine.
In pratica, ciò significa che data un'applicazione lineare $phi:V rightarrow W$, che opera su due spazi vettoriali $V$ e $W$, detta $A$ la sua matrice associata rispetto alla base naturale (o canonica), scrivere $phi(v)$, con $v in V$ è equivalente a compiere il prodotto matrice-vettore $A*v$. [Nel link c'è un esercizio che mostra questo aspetto].
Il prodotto chiaramente mi fornirà un vettore del codominio o "spazio di arrivo".
Visto che la matrice ora ce l'hai...
Sapresti trovare il nucleo dell'applicazione associata ?
Una volta, determinato, potrai già rispondere alle altre domande
Sai cosa significa che un 'applicazione è iniettiva ?
Inoltre, vale un tantissimo teorema che lega le dimensione dello spazio di partenza, del nucleo (o $ker$) e dell'immagine.
Allora, se ho capito bene
l'applicazione che sto cercando la trovo così:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(-3,-2,6,1)) ((x), (y), (z), (t)) = ((x-t), (3y + 4z + 2t), (-3x - 2y + 6z + t))$
Dunque la mia applicazione è:
$(x_1, x_2, x_3, x_4) \to (x_1 - x_4, 3x_2 + 4x_3 + 2x_4, -3x_1 - 2x_2 + 6x_3 + x_4)$
Per calcolare l'insieme del nucleo faccio il seguente sistema:
$\{(x_1 - x_4 = 0),(3x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0),(-3x_1 - 2x_2 + 6x_3 + x_4 = 0):}$
Lo risolvo creando la matrice associata e riducendola a scalini così:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(0,0,26/3,-2/3))$
Dunque parametrizzo $x_4$ e ottengo che il nucleo è dato da questo insieme ${x_4(1, -10/13, 1/13, 1) : x_4 in RR}$
Da qui deduco che non è iniettiva perché più vettori di $V$ sono associati al vettore nullo in $W$
Il teorema di cui parli è per caso $dim V = dim Ker + dim Im f$ ? So che è importante ma detto sinceramente non è che ho capito proprio bene come applicarlo
P.S. Stranamente ieri non funzionava il link, lo leggerò adesso comunque
l'applicazione che sto cercando la trovo così:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(-3,-2,6,1)) ((x), (y), (z), (t)) = ((x-t), (3y + 4z + 2t), (-3x - 2y + 6z + t))$
Dunque la mia applicazione è:
$(x_1, x_2, x_3, x_4) \to (x_1 - x_4, 3x_2 + 4x_3 + 2x_4, -3x_1 - 2x_2 + 6x_3 + x_4)$
Per calcolare l'insieme del nucleo faccio il seguente sistema:
$\{(x_1 - x_4 = 0),(3x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0),(-3x_1 - 2x_2 + 6x_3 + x_4 = 0):}$
Lo risolvo creando la matrice associata e riducendola a scalini così:
$((1,0,0,-1),(0,3,4,2),(0,0,26/3,-2/3))$
Dunque parametrizzo $x_4$ e ottengo che il nucleo è dato da questo insieme ${x_4(1, -10/13, 1/13, 1) : x_4 in RR}$
Da qui deduco che non è iniettiva perché più vettori di $V$ sono associati al vettore nullo in $W$
Il teorema di cui parli è per caso $dim V = dim Ker + dim Im f$ ? So che è importante ma detto sinceramente non è che ho capito proprio bene come applicarlo
P.S. Stranamente ieri non funzionava il link, lo leggerò adesso comunque
Il procedimento per trovare il $ker(f)$ è corretto.
Dato che il nucleo non è banale, allora non è iniettiva.
Tale teorema si chiama nullità più rango. Hai chiaro cosa sia la dimensione di uno spazio vettoriale?
E' utilissimo perché in tale modo ti basta trovare il nucleo ( e quindi la sua dimensione) per sapere direttamente che $dim Im(f)= 4-1=3$. Applicarlo è semplice, la dimensione non è altro che un numero
Dato che il nucleo non è banale, allora non è iniettiva.
Tale teorema si chiama nullità più rango. Hai chiaro cosa sia la dimensione di uno spazio vettoriale?
E' utilissimo perché in tale modo ti basta trovare il nucleo ( e quindi la sua dimensione) per sapere direttamente che $dim Im(f)= 4-1=3$. Applicarlo è semplice, la dimensione non è altro che un numero
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori presenti in una sua base, quello a cui mi riferivo è che una volta che conosco la dimensione di $Im(f)$ a cosa può servirmi? Tanto già sapevo che apparteneva a $RR^3$ quindi automaticamente una sua base era formata da 3 vettori, correggimi se sbaglio.
Magari però potrei usarlo come verifica per la dimensione de $Ker$, o non so forse ci devo ancora arrivare al punto in cui potrò utilizzare questo teorema per qualche altro scopo
Magari però potrei usarlo come verifica per la dimensione de $Ker$, o non so forse ci devo ancora arrivare al punto in cui potrò utilizzare questo teorema per qualche altro scopo
"fgnm":
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori presenti in una sua base
Esatto, è il numero di elementi di una qualsiasi base.
"fgnm":
una volta che conosco la dimensione di $ Im(f) $ a cosa può servirmi? Tanto già sapevo che apparteneva a $ RR^3 $ quindi automaticamente una sua base era formata da 3 vettori, correggimi se sbaglio.
Sbagli, ed è un errore piuttosto grave.
Cerchiamo di capire.
L'immagine di f, detta $Im(f)$ è così definita: $ Im(f)={f(v)in W|vinV} $ dove $V$ è lo spazio di partenza e $W$ lo spazio di arrivo. Nel tuo caso esplicito gli spazi vettoriali su cui stiamo lavorando: $Im(f)={f(v)in RR^3|vinRR^4} $.
Stiamo definendo un insieme di vettori che generano le immagini di $f$.
Ossia, stiamo dicendo che ogni vettore di $RR^4$ che prendiamo e a cui applichiamo $f$, avrà un'immagine che sarà esprimibile come combinazione lineare dei vettori che appartengono all'insieme $Im(f)$.
Ora, quello che tu dici è che si ha sempre che: $Im(f) = W$ (che nel tuo caso) $Im(f)=RR^3$.
Questa non è altro che la definizione di suriettività, ossia l'insieme delle immagini coincide con il codominio. Ossia, ogni vettore mappato da $f$ sta nel codominio.
La tua applicazione è suriettiva perché questo fatto si verifica.
Ma come saprai un'applicazione può essere o non essere suriettiva !
Esempio: $ phi : RR^3 → RR^4 $ tale che $phi((x, y, z)) = (x − y, x + 2z, 2x − y + 2z, −x + y). $
i) $kerphi=langle((2),(2),(-1))rangle$
Per nullità più rango la dimensione dell'immagine è: $dim(Imphi)=3-1=2$
ii)$Imphi=langle((1),(1),(2),(-1)) ((-1),(0),(-1),(1))rangle$
Come puoi vedere, l'insieme delle immagini non coincide con il codominio.
Infatti, esistono dei vettori di $RR^4 $ che non stanno nell'immagine.
Uno di questi, ad esempio è $((1),(0),(-1),(1))$. Infatti esso non è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
Non esistono cioè delle costanti $a,b$ tali per cui si verifica che $((1),(0),(-1),(1)) = a((1),(1),(2),(-1))+ b,((-1),(0),(-1),(1))$.
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