Matrice associata applicazione lineare
Salve a tutti,
come faccio a scrivere la matrice associata di un'applicazione $T:\mathbb{R}_2[x]\rightarrow\mathbb{R}^2$
definita da $T(ax^2+bx+c) = (a+c, 2b-2a)$ ?
come faccio a scrivere la matrice associata di un'applicazione $T:\mathbb{R}_2[x]\rightarrow\mathbb{R}^2$
definita da $T(ax^2+bx+c) = (a+c, 2b-2a)$ ?
Risposte
Data un'applicazione lineare $f: V \rightarrow W$ con $V$, $W$ spazi vettoriali su uno stesso campo $\mathbb{K}$ di dimensione $l$,$m$ rispettivamente
1. scelgo una base per lo spazio di partenza $V$, chiamiamola $\mathcal{B}$
2. scelgo una base per lo spazio di arrivo $W$, chiamiamola $\mathcal{C}$
3. la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, denotata da $M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \in \mathcal{M}_{m,l} (\mathbb{K})$, la "costruisci" per colonne, ossia la j-esima colonna è composta dalle coordinate rispetto a $\mathcal{C}$ dell'immagine in $f$ del j-esimo vettore di $\mathcal{B}$.
Nota che per un'applicazione lineare non esiste una unica matrice associata perchè la matrice associata dipende anche dalle basi che scegli per gli spazi vettoriali tra cui sta l'applicazione.
1. scelgo una base per lo spazio di partenza $V$, chiamiamola $\mathcal{B}$
2. scelgo una base per lo spazio di arrivo $W$, chiamiamola $\mathcal{C}$
3. la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, denotata da $M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \in \mathcal{M}_{m,l} (\mathbb{K})$, la "costruisci" per colonne, ossia la j-esima colonna è composta dalle coordinate rispetto a $\mathcal{C}$ dell'immagine in $f$ del j-esimo vettore di $\mathcal{B}$.
Nota che per un'applicazione lineare non esiste una unica matrice associata perchè la matrice associata dipende anche dalle basi che scegli per gli spazi vettoriali tra cui sta l'applicazione.
Allora, io ho ragionato in questo modo:
lo spazio dei polinomi $\mathbb{R}_2[x]$ è isomorfo allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ quindi definisco un'applicazione $F_B: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}^3$ che mi da le coordinate del polinomio $ax^2+bx+c$ rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_2[x]$ che è ${1,x,x^2}$. Quindi le coordinate del polinomio sono banalmente ${a,b,c}$.
Adesso considero l'applicazione $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definita da $f(a,b,c) = (a+c, 2b-2a)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^3$ è: $((1,0,1),(-2,2,0))$
corretto?
lo spazio dei polinomi $\mathbb{R}_2[x]$ è isomorfo allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ quindi definisco un'applicazione $F_B: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}^3$ che mi da le coordinate del polinomio $ax^2+bx+c$ rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_2[x]$ che è ${1,x,x^2}$. Quindi le coordinate del polinomio sono banalmente ${a,b,c}$.
Adesso considero l'applicazione $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definita da $f(a,b,c) = (a+c, 2b-2a)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^3$ è: $((1,0,1),(-2,2,0))$
corretto?
Credo di si, ho provato anche io e di fatto procedo allo stesso modo
Qualcun altro mi conferma il tutto? 
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