Matrice associata all'omomorfismo

[Sylent]

Buongiorno ragazzi,

studiando algebra lineare mi sono imbattuto in questo esempio, ma non riesco a capire un passaggio, potete gentilmente spiegarmelo voi?

sia $f:R^3 -> R^2$ l'omomorfismo definito da $f(x,y,z)=(x+y,y+z)$

I vettori $ e_1(1,0,0), e_2(1,1,0), e_3(1,1,1) $ sono una base di $R^3$
I vettori $ f_1(1,1), f_2(2,1) $ sono una base di $R^2$

Calcolo l'immagine dei vettori $e_1, e_2, e_3$ che mi viene uguale a:

$ f(e_1)=f(1,0,0)=(1,0)$
$f(e_2)=f(1,1,0)=(2,1)$
$f(e_3)=f(1,1,1)=(2,2) $

Ora l'esempio va avanti dicendo: Decomponiamo ora queste immagini rispetto alla base dai vettori $f_1 e f_2$. Abbiamo allora:

$f(e_1)=(1,0)=-(1,1)+(2,1)= -1f_1+1f_2$
$f(e_2)=(2,1)=0(1,1)+(2,1)= 0f_1+1f_2$
$f(e_3)=(2,2)=2(1,1)+0(2,1)=2f_1+0f_2$

fatto questo poi lui si scrive la matrice con i coefficenti, ma io non capisco proprio che calcoli ha fatto...che vuol dire "Decomponiamo ora queste immagini rispetto alla base dai vettori $f_1 e f_2$?

Grazie

****Edit****

Risolto, praticamente dovevo riuscire a "formare" le varie immagini moltiplicando per un intero e/o sommando $f_1 e f_2$

[_fabricius_1]

Come è determinata la matrice associata a un omomorfismo lineare?
Si fissano anzitutto una base nello spazio di partenza e una in quello di arrivo. In questo caso sono rispettivamente $(e_1, e_2, e_3)$ e $(f_1, f_2)$.
Bisogna poi scrivere $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ come combinazione lineare dei vettori della base dello spazio di arrivo, cioè nella forma $a\cdot f_1+b\cdot f_2$ per opportuni $a,b \in RR$. In casi così semplici i coefficienti della combinazione li trovi ad occhio. Altrimenti devi risolvere per ogni i=1,2,3 l'equazione $ f(e_i)=a\cdot f_1+b\cdot f_2 $ ricavando a e b (puoi scrivere esplicitamente i vettori e risolvere il sistema lineare che ne deriva con qualche metodo che conosci).
La matrice dell'omomorfismo è infine quella che ha sulla i-esima colonna le componenti di $ f(e_i) $ nella base dello spazio d'arrivo, cioè i coefficienti della sua espressione come combinazione lineare nei vettori della detta base.

[ot]Mi sono appena accorto che hai già risolto, ma avendo già scritto il messaggio l'ho inviato lo stesso.[/ot]

[calculon3000]

Salve ho visto e capito la tua risposta _fabricius_ e ti ringrazio , mi chiedevo , come trovare a e b in casi meno immediati e semplici? Come dovrei impostare il sistema per ogni f1 e f2 di ogni riga? grazie