Matrice associata all'endomorfismo

[BRN1]

Ciao a tutti, ho bisogno che qualcuno mi chiarisca le idee a proposito di questo esercizio:

Sia $ A $ la matrice $ ( ( 2 , 0 , 1 , -2 ),( 3 , 1 , 1 , -1 ),( -1 , -3 , 1 , -5 ),( 0 , -2 , 1 , -4 ) ) $

a) Sia $ U=Im(L_A)$. Si trovi una base di $ U $.

Se considero la matrice $ A $ riferita alla base canonica, allora i suoi vettori colonna solo le immagini che costituiscono $ U $.
Quindi mi basta studiare il rango della matrice $ A $ per determinare quali vettori siano una base. Con Gauss:

$ ( ( 2 , 0 , 1 , -2 ),( 3 , 1 , 1 , -1 ),( -1 , -3 , 1 , -5 ),( 0 , -2 , 1 , -4 ) ) rArr ( ( 2 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 1 , -1/2 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Quindi ho $rg(A)=3$ e la base è data da: $ B_U= { ( ( 2 ),( 3 ),( -1 ),( 0 ) ); ( ( 0 ),( 1 ),( -3 ),( -2 ) );( ( -2 ),( -1 ),( -5 ),( -4 ) ) } $

b) Indicata con $ f:U -> U $ la restrizione di $L_A$ a $U$, calcolare la matrice rappresentativa per $f$ e $f^-1$.

sempre rispetto alla base canonica ho che:

$L_A( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=( ( 2x+3y-z ),( y-3z-2t ),( x+y+z+t ),( -2x-y-5z-4t ) )$

Inizio ad applicare $L_A$ al primo vettore della base di $U$: $L_A( ( 2 ),( 3 ),( -1 ),( 0 ) )=( ( 12 ),( 6 ),( 4 ),( -2 ) )$

in questo modo ottengo i coefficienti dell'immagine riferita alla base canonica. Cerco i coefficienti rispetto a $B_U$:

$ a( ( 2 ),( 3 ),( -1 ),( 0 ) )+b ( ( 0 ),( 1 ),( -3 ),( -2 ) )+c( ( -2 ),( -1 ),( -5 ),( -4 ) )= ( ( 12 ),( 6 ),( 4 ),( -2 ) )$

da cui il sistema:

$ { ( 2a-2c=12 ),( 3a+b-c=6 ),( -a-3b-5c=4 ),( -2b-4c=-2 ):} $

Questo sistema però è impossibile!
Dove sbaglio?

Grazie a tutti.

.BRN

[BRN1]

Mi rendo conto che con la base $B_U$ formata da soli tre vettori, qualsiasi tentativo di cambio base per rispondere al punto b) dell'esercizio, risulta impossibile.
E' chiaro che anche il punto a) non sia corretto.
Direi che questo esercizio non l'ho proprio compreso....

Qualcuno ha idee???

.BRN