Matrice associata all'applicazione lineare
se ho la seguente applicazione lineare $phi:V->RR^4$ dove $V$ è un sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $B=v_1,v_2,v_3$
per calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla basi $B$ e la base canonica di $RR^4$ quindi la matrice $M^(V,E)(phi)$ mi sono scritto i vettori $v_1,v_2,v_3$ come combinazione lineare della base canonica
$v_1=2e_1+e_2+2e_3$
$v_2=2e_1-2e_2$
$v_3=2e_2+2e_3$
dove $v_1=(2,1,2,0)$ $v_2=(2,-2,0,0)$ e $v_3=(0,2,2,0)$
$f(v_1)=2f(e_1)+f(e_2)+2f(e_3)$
$f(v_2)=2f(e_1)-2f(e_2)$
$f(v_3)=2f(e_2)+2f(e_3)$
dove le immagini sono
$f(v_1)=(1,2,4,0)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,0)$
$f(v_3)=(6,4,4,0)$
a questo punto mi scrivo il sistema
$2f(e_1)+f(e_2)+2f(e_3)=(1,2,4,0)$
$2f(e_1)-2f(e_2)=(-8,-4,0,0)$
$2f(e_2)+2f(e_3)=(6,4,4,0)$
e mi calcolo $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ mentre $f(e_4)$ è noto ed è uguale al vettore nullo.
in questo modo calcolandomi le immagini della base canonica ho trovato le componenti della matrice $M^(V,E)(phi)$.
qualcuno può confermarmi il mio ragionamento? grazie tante
per calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla basi $B$ e la base canonica di $RR^4$ quindi la matrice $M^(V,E)(phi)$ mi sono scritto i vettori $v_1,v_2,v_3$ come combinazione lineare della base canonica
$v_1=2e_1+e_2+2e_3$
$v_2=2e_1-2e_2$
$v_3=2e_2+2e_3$
dove $v_1=(2,1,2,0)$ $v_2=(2,-2,0,0)$ e $v_3=(0,2,2,0)$
$f(v_1)=2f(e_1)+f(e_2)+2f(e_3)$
$f(v_2)=2f(e_1)-2f(e_2)$
$f(v_3)=2f(e_2)+2f(e_3)$
dove le immagini sono
$f(v_1)=(1,2,4,0)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,0)$
$f(v_3)=(6,4,4,0)$
a questo punto mi scrivo il sistema
$2f(e_1)+f(e_2)+2f(e_3)=(1,2,4,0)$
$2f(e_1)-2f(e_2)=(-8,-4,0,0)$
$2f(e_2)+2f(e_3)=(6,4,4,0)$
e mi calcolo $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ mentre $f(e_4)$ è noto ed è uguale al vettore nullo.
in questo modo calcolandomi le immagini della base canonica ho trovato le componenti della matrice $M^(V,E)(phi)$.
qualcuno può confermarmi il mio ragionamento? grazie tante
Risposte
rivedendo i calcoli credo che abbia fatto al contrario ho calcolato in questo modo $M^(E,V)(phi)$ e non $M^(V,E)(phi)$. qualche buon santo potrebbe confermare questa ipotesi?
Cos'è $E$ ?
"Giuly19":
Cos'è $E$ ?
la base canonica
Ciao mazzy89,
Se calcoli le immagini della base canonica di $RR^4$ effettivamente non stai definendo la matrice associata a $f : V \rightarrow RR^4$.
io solitamente affronto il problema del determinare la matrice $A$ associata ad un'applicazione lineare $\varphi : V \rightarrow W$ rispetto alle basi $ B = { v_1 , v_2,...,v_n }$ di $V$ e $C = { w_1, w_2,...,w_m}$ di $W$ in questa maniera , quindi nel caso particolare $ W = RR^4$ non hai che da sostituire $ {w_1...w_m}$ con ${e_1...e_m}$.
La matrice $A$ contiene per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo $C$ dei trasformati secondo $\varphi$ dei vettori della base di partenza $B$.
Dunque se i trasformati sono :
$\varphi( v_1 ) = h_1$
$...$
$\varphi(v_n) = h_n$
allora puoi scrivere tutti gli $h_1...h_n \in W$ in modo unico rispetto alla base $C$ :
$h_1 = x_1 \cdot w_1 + ... + x_m \cdot w_m$
$...$
$h_n = y_1 \cdot w_1 +...+ y_m \cdot w_m$
Allora la matrice $A$ avrà questa forma :
[tex]\begin{pmatrix} x_1 & : & y_1 \\ : & : & : \\ x_m & : & y_m \end{pmatrix}[/tex]
Nel tuo caso non dovevi calcolare le immagini della base canonica di $RR^4$, bensì le immagini dei $v_1, v_2, v_3$..
Se calcoli le immagini della base canonica di $RR^4$ effettivamente non stai definendo la matrice associata a $f : V \rightarrow RR^4$.
io solitamente affronto il problema del determinare la matrice $A$ associata ad un'applicazione lineare $\varphi : V \rightarrow W$ rispetto alle basi $ B = { v_1 , v_2,...,v_n }$ di $V$ e $C = { w_1, w_2,...,w_m}$ di $W$ in questa maniera , quindi nel caso particolare $ W = RR^4$ non hai che da sostituire $ {w_1...w_m}$ con ${e_1...e_m}$.
La matrice $A$ contiene per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo $C$ dei trasformati secondo $\varphi$ dei vettori della base di partenza $B$.
Dunque se i trasformati sono :
$\varphi( v_1 ) = h_1$
$...$
$\varphi(v_n) = h_n$
allora puoi scrivere tutti gli $h_1...h_n \in W$ in modo unico rispetto alla base $C$ :
$h_1 = x_1 \cdot w_1 + ... + x_m \cdot w_m$
$...$
$h_n = y_1 \cdot w_1 +...+ y_m \cdot w_m$
Allora la matrice $A$ avrà questa forma :
[tex]\begin{pmatrix} x_1 & : & y_1 \\ : & : & : \\ x_m & : & y_m \end{pmatrix}[/tex]
Nel tuo caso non dovevi calcolare le immagini della base canonica di $RR^4$, bensì le immagini dei $v_1, v_2, v_3$..
già si si. ti ringrazio tanto per l'intervento Pazzuzu.si si infatti poi mi sono accorto di aver fatto al contrario.infatti poi l'ho postato
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