Matrice associata alla f

[zoso89-votailprof]

Ciao a tutti! Ho trovato dei problemi sulla prima parte dello svolgimento di un esercizio d'esame . Qualcuno mi saprebbe dare una mano?

Testo esercizio:

Sia $f: $$RR$$^3$ $-$$>$ $RR$$^3$ l'applicazione lineare che a ogni vettore associa la sua proiezione ortogonale sullo spazio generato dai vettori $e_2 = ( 0,1,0)$ e $u=(1,0,-1)$.
Scrivere la matrice $M$ associata alla $f$ (rispetto alla base dei vettori fondamentali) e discutere la diagonalizzabilità di $M$.

Grazie in anticipo!

[franced]

"zoso89":
Testo esercizio:

Sia $f: $$RR$$^3$ $-$$>$ $RR$$^3$ l'applicazione lineare che a ogni vettore associa la sua proiezione ortogonale sullo spazio generato dai vettori $e_2 = ( 0,1,0)$ e $u=(1,0,-1)$.
Scrivere la matrice $M$ associata alla $f$ (rispetto alla base dei vettori fondamentali) e discutere la diagonalizzabilità di $M$.

Puoi seguire questa strada:

scegli la base di $RR^3$

${e_2 , u , (1,0,1)}$ ;

osserva che il vettore $(1,0,1)$ è ortogonale a $e_2$ e a $u$.

A questo punto ti scrivi il vettore generico $(x,y,z)$ come combinazione lineare dei tre vettori:

$((x),(y),(z)) = lambda_1 ((0),(1),(0)) + lambda_2 ((1),(0),(-1)) + lambda_3 ((1),(0),(1))$

una volta determinati i $lambda_k$, la proiezione non è altro che il vettore

$((x'),(y'),(z')) = lambda_1 ((0),(1),(0)) + lambda_2 ((1),(0),(-1))$ .

[franced]

"franced":[quote="zoso89"]
Testo esercizio:

Sia $f: $$RR$$^3$ $-$$>$ $RR$$^3$ l'applicazione lineare che a ogni vettore associa la sua proiezione ortogonale sullo spazio generato dai vettori $e_2 = ( 0,1,0)$ e $u=(1,0,-1)$.
Scrivere la matrice $M$ associata alla $f$ (rispetto alla base dei vettori fondamentali) e discutere la diagonalizzabilità di $M$.

Puoi seguire questa strada:

scegli la base di $RR^3$

${e_2 , u , (1,0,1)}$ ;

osserva che il vettore $(1,0,1)$ è ortogonale a $e_2$ e a $u$.

A questo punto ti scrivi il vettore generico $(x,y,z)$ come combinazione lineare dei tre vettori:

$((x),(y),(z)) = lambda_1 ((0),(1),(0)) + lambda_2 ((1),(0),(-1)) + lambda_3 ((1),(0),(1))$

una volta determinati i $lambda_k$, la proiezione non è altro che il vettore

$((x'),(y'),(z')) = lambda_1 ((0),(1),(0)) + lambda_2 ((1),(0),(-1))$ .[/quote]

Ho fatto i calcoli e ho trovato questi risultati:

risolvendo il primo sistema rispetto ai $\lambda_k$ si trova

$\lambda_1 = y$

$\lambda_2 = x/2 - z/2$

$\lambda_3 = x/2 + z/2$

sostituendo $\lambda_1$ e $\lambda_2$ si ottiene il vettore
proiezione:

$((x'),(y'),(z')) = lambda_1 ((0),(1),(0)) + lambda_2 ((1),(0),(-1)) = $

$((x'),(y'),(z')) = y ((0),(1),(0)) +(x/2 - z/2) ((1),(0),(-1)) $

che possiamo anche riscrivere così:

$((x'),(y'),(z')) = ((1/2,0,-1/2),(0,1,0),(-1/2,0,1/2)) ((x),(y),(z)) $

la matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile.

Faccio notare che era possibile stabilirlo all'inizio, trattandosi di una proiezione ortogonale:
due autovettori linearmente indipendenti sono $e_2$ e $u$ (restano fissi), mentre il
nucleo dell'applicazione è generato dal vettore $(1,0,1)$.

[zoso89-votailprof]

perchè non normalizzi i tre vettori della base prima di calcolare la proiezione ortogonale?

[franced]

"zoso89":perchè non normalizzi i tre vettori della base prima di calcolare la proiezione ortogonale?

Perché non serve!

[franced]

"franced":[quote="zoso89"]perchè non normalizzi i tre vettori della base prima di calcolare la proiezione ortogonale?

Perché non serve![/quote]


Cerco di spiegarmi meglio facendoti un esempio su $RR^2$:
supponi di calcolare la proiezione ortogonale sulla retta $x-y=0$.

Prendi un vettore qualsiasi $((x),(y))$ e lo scrivi in questo modo:

$((x),(y)) = lambda_1 ((48),(48)) + lambda_2 ((-71),(71))$

trovati $lambda_1$ e $lambda_2$, la proiezione è semplicemente

$((x'),(y')) = lambda_1 ((48),(48))$ .

[franced]

Faccio un altro esempio che spero possa essere utile a chi non ha capito bene come si procede.

Calcolare l'equazione della proiezione sul piano $pi : x - 2y + z = 0$.

Prendo due vettori qualsiasi di $pi$, linearmente indipendenti:

$v_1 = ((1),(0),(-1))$ , $v_2 = ((2),(1),(0))$

NON importa che siano ortogonali!!

A questo punto prendo un vettore ortogonale al piano, ad esempio $v_3 = ((1),(-2),(1))$
e scrivo il generico vettore $((x),(y),(z))$ come combinazione lineare dei $v_k$:

$((x),(y),(z)) = lambda_1 ((1),(0),(-1)) + lambda_2 ((2),(1),(0)) + lambda_3 ((1),(-2),(1))$

si trovano i seguenti risultati:

$lambda_1 = 1/6*x - 1/3*y - 5/6*z$

$lambda_2 = 1/3*x + 1/3*y + 1/3*z$

$lambda_3 = 1/6*x - 1/3*y + 1/6*z$

la proiezione $((x'),(y'),(z'))$ si ottiene considerando la combinazione lineare senza $lambda_3$:

$((x'),(y'),(z')) = lambda_1 ((1),(0),(-1)) + lambda_2 ((2),(1),(0))$

$((x'),(y'),(z')) = (1/6*x - 1/3*y - 5/6*z) ((1),(0),(-1)) + (1/3*x + 1/3*y + 1/3*z) ((2),(1),(0))$

e quindi:

$((x'),(y'),(z')) = ((5/6*x+1/3*y-1/6*z),(1/3*x+1/3*y+1/3*z),(-1/6*x+1/3*y+5/6*z))$

[zoso89-votailprof]

OK è chiaro..grazie mille per la spiegazione

[franced]

"zoso89":OK è chiaro..grazie mille per la spiegazione

Prego.

Una cosa: per la simmetria rispetto ad un piano si ragiona in modo analogo:
l'unica differenza consiste nel prendere $-lambda_3$ al posto di $lambda_3$.