Matrice associata alla base canonica di un'applicazione lineare
Buongiorno a tutti. Come risolvo questo esercizio?
Si consideri l'applicazione lineare f:M(3,R) -> M(3,R) tale che
f(1,1,0) = (3,0,-1)
f(1,0,1) = (1,1,-2)
f(0,1,1) = (0,1,0)
Allora la matrice A appartenente a M(3,3,R) associata alla base canonica tale che f = fA è...?
Non riesco a capire i calcoli dettagliati che bisogna fare poiché le dispense dei professori danno tutto per scontato e non spiegano nulla o spiegano non in modo chiaro. Tenete conto che sono alle prime armi, quindi, possibilmente passaggi dettagliati.
Grazie
Si consideri l'applicazione lineare f:M(3,R) -> M(3,R) tale che
f(1,1,0) = (3,0,-1)
f(1,0,1) = (1,1,-2)
f(0,1,1) = (0,1,0)
Allora la matrice A appartenente a M(3,3,R) associata alla base canonica tale che f = fA è...?
Non riesco a capire i calcoli dettagliati che bisogna fare poiché le dispense dei professori danno tutto per scontato e non spiegano nulla o spiegano non in modo chiaro. Tenete conto che sono alle prime armi, quindi, possibilmente passaggi dettagliati.
Grazie
Risposte
Se \(A\) è la tua matrice associata all'applicazione lineare \(f,\) allora hai che
\[
\begin{align}
A\,\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \\
A\,\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \\
A\,\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{align}
\]
Se costruiamo una matrice \(B\) le cui colonne sono uguali ai 3 vettori colonna nell'ipotesi e la moltiplichiamo con la nostra matrice \(A\) otteniamo la matrice \(C\) le cui colonne sono i vettori colonna a destra dell'uguale. Cioè abbiamo la seguente:
\[
A\,\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
\]
Questo è probabilmente il punto più importante per cui ti consiglio di cercare di dimostrare che è effettivamente così se non ti è già evidente. Devi cioè dimostrare che per ogni coppia di matrici \(A, B \in M(n, n, \mathbb R)\) il prodotto \(A\,B\) è uguale a \((A\,B_1 | A\,B_2 | \dots | A\,B_n)\) dove \(B_i\) è la \(i-\)esima colonna della matrice \(B\) e la barre verticali nella notazione significa che dobbiamo mettere i risultati uno di fianco all'altro per ottenere la matrice risultante.
A questo punto abbiamo una espressione nella forma \(A\,B = C\) e se ricordiamo la teoria sulle matrici inverse possiamo calcolare il risultato come \(A = C\,B^{-1}\). Sai come si calcola la matrice inversa? Sai come calcolare il prodotto? Il risultato finale dovrebbe essere
\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
-3/2 & 1/2 & -1/2
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{align}
A\,\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \\
A\,\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \\
A\,\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{align}
\]
Se costruiamo una matrice \(B\) le cui colonne sono uguali ai 3 vettori colonna nell'ipotesi e la moltiplichiamo con la nostra matrice \(A\) otteniamo la matrice \(C\) le cui colonne sono i vettori colonna a destra dell'uguale. Cioè abbiamo la seguente:
\[
A\,\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
\]
Questo è probabilmente il punto più importante per cui ti consiglio di cercare di dimostrare che è effettivamente così se non ti è già evidente. Devi cioè dimostrare che per ogni coppia di matrici \(A, B \in M(n, n, \mathbb R)\) il prodotto \(A\,B\) è uguale a \((A\,B_1 | A\,B_2 | \dots | A\,B_n)\) dove \(B_i\) è la \(i-\)esima colonna della matrice \(B\) e la barre verticali nella notazione significa che dobbiamo mettere i risultati uno di fianco all'altro per ottenere la matrice risultante.
A questo punto abbiamo una espressione nella forma \(A\,B = C\) e se ricordiamo la teoria sulle matrici inverse possiamo calcolare il risultato come \(A = C\,B^{-1}\). Sai come si calcola la matrice inversa? Sai come calcolare il prodotto? Il risultato finale dovrebbe essere
\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
-3/2 & 1/2 & -1/2
\end{pmatrix}
\]
Oppure puoi ricordare che se \(e_i\) è il vettore di \(R^n\) con solo l'i-esima componente 1 e le altre 0, e \(A\) è una matrice \(m \times n\), allora \(Ae_i\) è la \(i\)-esima colonna di \(A\). Vediamo se riesci a capire come proseguire.
Osservi che \(e_1 = \frac12 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right)\), che non è una combinazione lineare di vettori a caso! Applicando \(A\) ad entrambi i membri hai (causa linearità) \[Ae_1 = \frac12 \left( A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} - A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac32\end{pmatrix}\] Eccoti la prima colonna! Trova tu le altre colonne.
Osservi che \(e_1 = \frac12 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right)\), che non è una combinazione lineare di vettori a caso! Applicando \(A\) ad entrambi i membri hai (causa linearità) \[Ae_1 = \frac12 \left( A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} - A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac32\end{pmatrix}\] Eccoti la prima colonna! Trova tu le altre colonne.
No, non riesco a comprendere il ragionamento nonchè i calcoli.
Provate a specificarmeli in modo maggiormente dettagliato e chiaro dato che dal materiale didattico di un'università telematica non lo spiegano chiaramente.
Provate a specificarmeli in modo maggiormente dettagliato e chiaro dato che dal materiale didattico di un'università telematica non lo spiegano chiaramente.
Dando per scontato (veramente, ne andrebbe compreso profondamente il motivo) che la matrice A debba avere, come prima colonna:
come seconda colonna:
come terza colonna:
e presumendo che, almeno in prima battuta, tu abbia bisogno di procedere intuitivamente, poichè:
si ha:
Molti di noi, purtroppo o per fortuna e facendo di necessità virtù, impararono a leggere anche tra le righe.
$f[[1],[0],[0]]$
come seconda colonna:
$f[[0],[1],[0]]$
come terza colonna:
$f[[0],[0],[1]]$
e presumendo che, almeno in prima battuta, tu abbia bisogno di procedere intuitivamente, poichè:
$[[1],[0],[0]]=1/2*[[1],[1],[0]]+1/2*[[1],[0],[1]]-1/2*[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[1],[0],[0]]=1/2*f[[1],[1],[0]]+1/2*f[[1],[0],[1]]-1/2*f[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[1],[0],[0]]=1/2*[[3],[0],[-1]]+1/2*[[1],[1],[-2]]-1/2*[[0],[1],[0]] rarr$
$rarr f[[1],[0],[0]]=[[2],[0],[-3/2]]$
$[[0],[1],[0]]=1/2*[[1],[1],[0]]-1/2*[[1],[0],[1]]+1/2*[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[0],[1],[0]]=1/2*f[[1],[1],[0]]-1/2*f[[1],[0],[1]]+1/2*f[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[0],[1],[0]]=1/2*[[3],[0],[-1]]-1/2*[[1],[1],[-2]]+1/2*[[0],[1],[0]] rarr$
$rarr f[[1],[0],[0]]=[[1],[0],[1/2]]$
$[[0],[0],[1]]=-1/2*[[1],[1],[0]]+1/2*[[1],[0],[1]]+1/2*[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[0],[0],[1]]=-1/2*f[[1],[1],[0]]+1/2*f[[1],[0],[1]]+1/2*f[[0],[1],[1]] rarr$
$rarr f[[0],[0],[1]]=-1/2*[[3],[0],[-1]]+1/2*[[1],[1],[-2]]+1/2*[[0],[1],[0]] rarr$
$rarr f[[0],[0],[1]]=[[-1],[1],[-1/2]]$
si ha:
$A=[[2,1,-1],[0,0,1],[-3/2,1/2,-1/2]]$
"Alessandro1":
... poiché le dispense dei professori ...
Molti di noi, purtroppo o per fortuna e facendo di necessità virtù, impararono a leggere anche tra le righe.
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