Matrice associata ad uno strano endomorfismo
Buongiorno a tutti, sono sempre io (eh sì, in questo periodo va così),
al solito: esercizio, no soluzione.
Sia V lo spazio delle matrici 2x2 in R, sia g un endomorfismo di V tale che,
$g(A) = A-2A^t $
(nota1: sì, dice proprio A senza meglio specificare cosa sia. Suppongo intenda una qualunque matrice di V,
Nota2: la "t" indica trasposta. Lo dico perchè a volte ho visto usare altri simboli e dunque immagino che non sia una notazione universale)
Determinare la matrice di g rispetto alla base:
B= $ {((0,1),(1,0)) ; ((0,1),(-1,0)) ; ((0,0) , (1,1)) ; ((1,0),(1,0))} $
Ok, secondo me si fa così:
si trova l'immagine dell'i-esima base. Lo faccio con la terza (c'è un motivo per cui inizio dalla terza, ma a nessuno importa) :
g(b3) = $ ((0,0) , (1,1))-2((0,1),(0,1)) = ((0,-2),(1,-1)) $
E così trovo anche g(b1), g(b2) e g(b4).
Ora devo solo esprimere questa cosa come combinazione lineare delle 4 basi, che nel caso di g(b3) diventa,
g(b3) = -4b1+2b2-b3.
Ora, non pretendo che vi mettiate davvero a fare i calcoli, ma che quantomeno concordaste con me sul modo che ho usato per trovare i coefficienti.
Ho semplicemente incolonnato la matrice $ ((0,-2),(1,-1)) $ come $ ((0),(-2),(1),(-1)) $ e messo a sistema con i 4 vettori.
È giusto "stirare" così le matrici?
L'esercizio a questo punto è finito. Si completa con g(b1) g(b2) e g(b4) e si incolonna il tutto.
Lo so, l'esercizio di per sè è abbastanza standard, ma quella funzione definita come sottrazione di matrici mi ha lasciato un po' perplesso all'inizio, quindi vorrei esser certo di quello che faccio.
Grazie per l'aiuto..
ciao!
al solito: esercizio, no soluzione.
Sia V lo spazio delle matrici 2x2 in R, sia g un endomorfismo di V tale che,
$g(A) = A-2A^t $
(nota1: sì, dice proprio A senza meglio specificare cosa sia. Suppongo intenda una qualunque matrice di V,
Nota2: la "t" indica trasposta. Lo dico perchè a volte ho visto usare altri simboli e dunque immagino che non sia una notazione universale)
Determinare la matrice di g rispetto alla base:
B= $ {((0,1),(1,0)) ; ((0,1),(-1,0)) ; ((0,0) , (1,1)) ; ((1,0),(1,0))} $
Ok, secondo me si fa così:
si trova l'immagine dell'i-esima base. Lo faccio con la terza (c'è un motivo per cui inizio dalla terza, ma a nessuno importa) :
g(b3) = $ ((0,0) , (1,1))-2((0,1),(0,1)) = ((0,-2),(1,-1)) $
E così trovo anche g(b1), g(b2) e g(b4).
Ora devo solo esprimere questa cosa come combinazione lineare delle 4 basi, che nel caso di g(b3) diventa,
g(b3) = -4b1+2b2-b3.
Ora, non pretendo che vi mettiate davvero a fare i calcoli, ma che quantomeno concordaste con me sul modo che ho usato per trovare i coefficienti.
Ho semplicemente incolonnato la matrice $ ((0,-2),(1,-1)) $ come $ ((0),(-2),(1),(-1)) $ e messo a sistema con i 4 vettori.
È giusto "stirare" così le matrici?
L'esercizio a questo punto è finito. Si completa con g(b1) g(b2) e g(b4) e si incolonna il tutto.
Lo so, l'esercizio di per sè è abbastanza standard, ma quella funzione definita come sottrazione di matrici mi ha lasciato un po' perplesso all'inizio, quindi vorrei esser certo di quello che faccio.
Grazie per l'aiuto..
ciao!
Risposte
"pollo93":
Sia V lo spazio delle matrici 2x2 in R, sia g un endomorfismo di V tale che,
$g(A) = A-2A^t $
(nota1: sì, dice proprio A senza meglio specificare cosa sia. Suppongo intenda una qualunque matrice di V
Ma scusa, se $f$ è una funzione da $RR$ in $RR$ tu ti aspetti che quando si definisce, ad esempio, $f(x)=2x$, si specifichi che $x$ appartiene ad $RR$???
"pollo93":
Nota2: la "t" indica trasposta. Lo dico perchè a volte ho visto usare altri simboli e dunque immagino che non sia una notazione universale)
...
si trova l'immagine dell'i-esima base. Lo faccio con la terza
...
Ora devo solo esprimere questa cosa come combinazione lineare delle 4 basi, che nel caso di g(b3) diventa,
g(b3) = -4b1+2b2-b3.
Ti riferisci alle matrici che costituiscono la base come "basi" perché lo fanno tutti da te? Lo chiedo perché non mi sembra "universale"..
"pollo93":
Ora, non pretendo che vi mettiate davvero a fare i calcoli, ma che quantomeno concordaste con me sul modo che ho usato per trovare i coefficienti.
...
È giusto "stirare" così le matrici?
La mia professoressa ci ha raccomandato caldamente, quando facciamo questo genere di "stiramenti" (che si possono fare!) di scrivere nei compiti frasi quali "Considero l'isomorfismo $phi:M_2(RR) \rightarrow RR^4 | phi(( ( a , b ),( c , d ) ))=(a,b,c,d)$".
Scritto l'opportuno "vocabolario", ha detto che possiamo massacrare queste matrici quanto vogliamo!
"Trilogy":in effetti...
Ma scusa, se $f$ è una funzione da $RR$ in $RR$ tu ti aspetti che quando si definisce, ad esempio, $f(x)=2x$, si specifichi che $x$ appartiene ad $RR$???
Ti riferisci alle matrici che costituiscono la base come "basi" perché lo fanno tutti da te? Lo chiedo perché non mi sembra "universale"..
Non ho capito: stai contestando il concetto metafisico nascosto dietro la parola "universale" o ti stai solo prendendo giuoco di me?
Era per dire che magari su alcuni libri è indicato in altro modo (tipo che la t è a sinistra, sopra, sotto, maiuscola, è una $ tau $ o chessò io) e quella t può sembrare un esponente messo a caso.
Seriamente, note a parte, l'esercizio è giusto?
"pollo93":
Non ho capito: stai contestando il concetto metafisico nascosto dietro la parola "universale" o ti stai solo prendendo giuoco di me?
Era per dire che magari su alcuni libri è indicato in altro modo (tipo che la t è a sinistra, sopra, sotto, maiuscola, è una $ tau $ o chessò io) e quella t può sembrare un esponente messo a caso.
Ma ho capito cosa intendi.. Da me la scriviamo a sinistra, ad esempio. Era solo per chiedere se davvero puoi usare il termine "base" in quel modo, impunemente!
"pollo93":
Seriamente, note a parte, l'esercizio è giusto?
Non avendo fatto i conti, posso solo dire che anche io penso avrei fatto come te un esercizio del genere! (e meglio di così questo esame non potevo passarlo, quindi spero sia giusto, con una certa presunzione, lol)
@pollo: mi sembra corretto quello che hai fatto.
@Trilogy: sì, se vuoi le prime volte puoi essere pedante. Poi ti rendi conto che, in fondo, è solo una quastione grafica. Potresti anche scrivere quelle matrici a forma di T, l'importante è che ti ricordi che corrispondenza ci sia fra le posizioni. Che sia un'isomorfismo è davvero ovvio -e anche disonesto: è la stessa identica cosa!
@Trilogy: sì, se vuoi le prime volte puoi essere pedante. Poi ti rendi conto che, in fondo, è solo una quastione grafica. Potresti anche scrivere quelle matrici a forma di T, l'importante è che ti ricordi che corrispondenza ci sia fra le posizioni. Che sia un'isomorfismo è davvero ovvio -e anche disonesto: è la stessa identica cosa!
[ot]
Non devi dirlo a me.. La mia professoressa ci toglie mezzi punti a volontà con queste scuse del tipo "Ma doveva scrivermi l'isomorfismo!".. Tutta la mia pedanteria si limita all'osservazione che "isomorfismo" è maschile, credo. Detto questo, la pianto (:[/ot]
"giuscri":
@Trilogy: sì, se vuoi le prime volte puoi essere pedante. Poi ti rendi conto che, in fondo, è solo una quastione grafica. Potresti anche scrivere quelle matrici a forma di T, l'importante è che ti ricordi che corrispondenza ci sia fra le posizioni. Che sia un'isomorfismo è davvero ovvio -e anche disonesto: è la stessa identica cosa!
Non devi dirlo a me.. La mia professoressa ci toglie mezzi punti a volontà con queste scuse del tipo "Ma doveva scrivermi l'isomorfismo!".. Tutta la mia pedanteria si limita all'osservazione che "isomorfismo" è maschile, credo. Detto questo, la pianto (:[/ot]
"Trilogy":
Era solo per chiedere se davvero puoi usare il termine "base" in quel modo, impunemente!
Ah ma allora era una domanda seria?
Pensavo fosse sarcasmo.
In tal caso no, credo tu abbia ragione. Probabilmente i vettori che costituiscono la base sono semplicemente "vettori che costituiscono la base", non si possano chiamare basi. Ma tant'è...
Comunque ok, per essere sicuro di un esercizio mi basta anche una conferma.
Ti ringrazio. Ciao!
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