Matrice associata ad una forma bilineare e alla sua forma quadratica
Salve ragazzi, ho una forma bilineare simmetrica:
$ B=x_1x_1'-x_1x_2'-x_1'x_2+x_2x_2'+x_3x_3' $
E la forma quadratica ad essa associata:
$ Q=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_3^2 $
Come scrivo la matrice associata a B e la matrice associata a Q?
Io ho fatto così ditemi se ho sbagliato:
B=$((x_1x_1',x_1x_2',x_1x_3'),(x_2x_1',x_2x_2',x_2x_3'),(x_3x_1',x_3x_2',x_3x_3'))$
Da cui ho ottenuto:
B=$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$
E' giusto? Per quanto riguarda la forma quadratica invece ho molti più dubbi, cioè per la forma bilineare ho semplicemente scritto i coefficienti, ma per la forma quadratica devo fare la stessa cosa? O devo dividere i temini misti per due? Alcuni mi dicono una cosa e altri un'altra.
Q é così o così?
Q=$((1,-2,0),(-2,1,0),(0,0,1))$ cioè con i coefficienti tali e quali, oppure così:
Q=$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$ cioè con i termini misti divisi per due?
Grazie mille
Inoltre una seconda domanda:
Nel trovare la forma normale di una forma quadratica devo considerare il primo vettore
$ E_1=(v_1)/(sqrt(|A|) $ Dove A è l'autovalore
Se l'autovalore è 0, come faccio?
$ B=x_1x_1'-x_1x_2'-x_1'x_2+x_2x_2'+x_3x_3' $
E la forma quadratica ad essa associata:
$ Q=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_3^2 $
Come scrivo la matrice associata a B e la matrice associata a Q?
Io ho fatto così ditemi se ho sbagliato:
B=$((x_1x_1',x_1x_2',x_1x_3'),(x_2x_1',x_2x_2',x_2x_3'),(x_3x_1',x_3x_2',x_3x_3'))$
Da cui ho ottenuto:
B=$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$
E' giusto? Per quanto riguarda la forma quadratica invece ho molti più dubbi, cioè per la forma bilineare ho semplicemente scritto i coefficienti, ma per la forma quadratica devo fare la stessa cosa? O devo dividere i temini misti per due? Alcuni mi dicono una cosa e altri un'altra.
Q é così o così?
Q=$((1,-2,0),(-2,1,0),(0,0,1))$ cioè con i coefficienti tali e quali, oppure così:
Q=$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$ cioè con i termini misti divisi per due?
Grazie mille
Inoltre una seconda domanda:
Nel trovare la forma normale di una forma quadratica devo considerare il primo vettore
$ E_1=(v_1)/(sqrt(|A|) $ Dove A è l'autovalore
Se l'autovalore è 0, come faccio?
Risposte
Up
La matrice di \(B\) e di \(Q\) devono coincidere.
Riguardo la forma normale il procedimento è quello solito per diagonalizzare una matrice.
Riguardo la forma normale il procedimento è quello solito per diagonalizzare una matrice.
Quindi se le matrici di B e Q devono coincidere, faccio bene a dividere i termini misti di Q per due?
Prova a fare questo calcolo e vedrai dove ti esce il 2 (anche per il \(2\times2\))
\(\displaystyle \begin{pmatrix}a_1 & a_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_{11} & q_{12} \\q_{21} & q_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}a_1 & a_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_{11} & q_{12} \\q_{21} & q_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}\)
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