Matrice associata ad una applicazione rispetto ad una base
salve!il quesito che vi pongo credo proprio che sia banale...ma avrei bisogno di essere certa su quello che ho fatto...mi spiego meglio:
allora nello spazio vettoriale $R^4$ è assegnato il sottospazio
$V={(x,y,z,t)in R^4 |x+y+t=z-t=0}$ mi si chiede di determinare il generico endomorfismo $phi:R^4 ->R^4$ tale che $im phi=kerphi=V$ e scrivere la matrice associata a $phi$ rispetto alla base canonica di $R^4.$
il modo in cui l ho svolto io è questo:
ho considerato una base di V:
$v_1=(-1,1,0,0), $
$v_2=(-1,0,1,1),$
$v_3=(0,0,0,1),$
$v_4=(0,0,1,0)$ (gli ultimi due vettori li ho presi in modo tale che fossero linearmente indipendenti)
quindi per calcolare la matrice associata a $phi$ rispetto alla base canonica vado a considerare:
$v_1=-e_1+e_2, $
$v_2=-e_1+e_3+e_4, $
$v_3=e_3, $
$v_4=e_4$
da cui ottengo
$phi(e_1)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=(0,0,0,0)$
e quindi andando a mettere in colonna ottengo la matrice identicamente nulla!!! ma è possibile??forse sbaglio da qualche parte??vi ringrazio!
allora nello spazio vettoriale $R^4$ è assegnato il sottospazio
$V={(x,y,z,t)in R^4 |x+y+t=z-t=0}$ mi si chiede di determinare il generico endomorfismo $phi:R^4 ->R^4$ tale che $im phi=kerphi=V$ e scrivere la matrice associata a $phi$ rispetto alla base canonica di $R^4.$
il modo in cui l ho svolto io è questo:
ho considerato una base di V:
$v_1=(-1,1,0,0), $
$v_2=(-1,0,1,1),$
$v_3=(0,0,0,1),$
$v_4=(0,0,1,0)$ (gli ultimi due vettori li ho presi in modo tale che fossero linearmente indipendenti)
quindi per calcolare la matrice associata a $phi$ rispetto alla base canonica vado a considerare:
$v_1=-e_1+e_2, $
$v_2=-e_1+e_3+e_4, $
$v_3=e_3, $
$v_4=e_4$
da cui ottengo
$phi(e_1)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=(0,0,0,0)$
e quindi andando a mettere in colonna ottengo la matrice identicamente nulla!!! ma è possibile??forse sbaglio da qualche parte??vi ringrazio!
Risposte
Ciao daniela. Mi spieghi che passaggi hai fatto da qui:
a qui:
"daniela87":
$v_1=-e_1+e_2, $
$v_2=-e_1+e_3+e_4, $
$v_3=e_3, $
$v_4=e_4$
a qui:
?
$phi(e_1)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=(0,0,0,0)$
praticamente ho ricavato dalla prima relazione che vedi
$e_1=v_3+v_4-v_2$
$e_2=v_1+v_3+v_4-v_2$
$e_3=v_3$
$e_4=v_4$
e poi ho posto
$phi(e_1)=phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=phi(v_1)+phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=phi(v_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=phi(v_4)=(0,0,0,0)$
credo che
$phi(v_1)=(0,0,0,0)$
$phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(v_3)=(0,0,0,0)$
$phi(v_4)=(0,0,0,0)$
perchè l'esercizio mi dice che $im phi=kerphi=V$
..ma a te risulta in modo diverso??
$e_1=v_3+v_4-v_2$
$e_2=v_1+v_3+v_4-v_2$
$e_3=v_3$
$e_4=v_4$
e poi ho posto
$phi(e_1)=phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=phi(v_1)+phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=phi(v_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=phi(v_4)=(0,0,0,0)$
credo che
$phi(v_1)=(0,0,0,0)$
$phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(v_3)=(0,0,0,0)$
$phi(v_4)=(0,0,0,0)$
perchè l'esercizio mi dice che $im phi=kerphi=V$
..ma a te risulta in modo diverso??
"daniela87":
$phi(e_1)=phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_2)=phi(v_1)+phi(v_3)+phi(v_4)-phi(v_2)=(0,0,0,0)$
$phi(e_3)=phi(v_3)=(0,0,0,0)$
$phi(e_4)=phi(v_4)=(0,0,0,0)$
perchè l'esercizio mi dice che $im phi=kerphi=V$
Allora tu hai scritto una funzione che manda tutta la base a 0. Quindi ovviamente otterrai la funzione nulla e quindi la matrice nulla.
Ti dice che $V=ker phi$
V è generato da v1 e v2, quindi fai bene a imporre che v1 e v2 finiscano in 0 tramite $phi$. PErò il ker è esattamente V quindi non puoi mandare a 0 niente che non sia in V. v3 e v4 non sono in V.
Però poi ti dice che $V=Im phi$
cioè gli altri due vettori della base dove li mandi? Ricordati che le immagini di questi 2 vettori generano l'immagine, che sai essere uguale a V. Allora dovrai imporre che l'immagine di questi 2 vettori stia in V. Dovrai anche imporre che le immegini di questi 2 vettori siano linearmente indipendenti perchè devono (le immagini) generare V quindi uno spazio di dim 2.
Se non erro non otterrai un'unica soluzione ma appunto (guardando la traccia) un generico endomorfismo. (In altre parole dovrebbe rimanerti qualche parametro).
Se non è chiaro chiedi pure.
si ineffetti qualche dubbio mi rimane...cioè io ho capito che dovrei prendere altri due vettori che stanno in V e che siano linearmente indipendenti con quelli che ho già...ma come faccio se v ha dimensione 2 e due vettori li ho già presi a prendere altri due linearmente indipendenti? forse dovrei considerare due vettori generici tipo $v_3=(a,b,c,d)$ e $v_4=(f,g,h,i)$ e poi magari impongo che la loro immagine stia in v e quindi troverei $phi(v_3)=(-b,b,0,0)$ e $phi(v_4)=(-g,0,g,g)$...?!cosi ho anche ke $kerphi$ ha dim2??? cmq grazie per la disponibilità,gentilissimo!
No attenzione. Scusa se faccio un passo indietro ma è solo per maggiore chiarezza.
Devi scrivere $phi$ da R4 in R4 endomorfismo. Sai che per farlo basta fissare l'immagine dei vettori di una base, in questo caso 4 vettori linearmente indipendenti qualsiasi.
Come hai detto 2 ce li hai già. Sono v1 e v2 che sono 2 vettori linearmente indipendenti di R4 che inoltre generano V.
La prima condizione è che $V=ker phi$. Quindi giustamente imponi che i due vettori della base di V (v1 e v2) vadano a 0.
Ma tu vuoi determinare $phi$, quindi ti servono altri due vettori indipendenti (v3 e v4) e le loro immagini.
A questo punto hai fatto bene, v3 e v4 li hai trovati completando la base. Dove li mandiamo v3 e v4? Sapendo che le loro immagini devono generare $im phi$ e sapendo la seconda condizione cioè $im phi=V$ la scelta più elementare è:
$phi(v3)=v1$**
$phi(v4)=v2$**
Perchè? perchè così le immagini di v3 e v4 generano V, ma generano anche $im phi$ quindi $V=im phi$.
Ora si generalizza: ci sono altri modi per rispettare le due condizioni? Nota: devi lavorare sulle equazioni che ho marcato con **
Devi scrivere $phi$ da R4 in R4 endomorfismo. Sai che per farlo basta fissare l'immagine dei vettori di una base, in questo caso 4 vettori linearmente indipendenti qualsiasi.
Come hai detto 2 ce li hai già. Sono v1 e v2 che sono 2 vettori linearmente indipendenti di R4 che inoltre generano V.
La prima condizione è che $V=ker phi$. Quindi giustamente imponi che i due vettori della base di V (v1 e v2) vadano a 0.
Ma tu vuoi determinare $phi$, quindi ti servono altri due vettori indipendenti (v3 e v4) e le loro immagini.
A questo punto hai fatto bene, v3 e v4 li hai trovati completando la base. Dove li mandiamo v3 e v4? Sapendo che le loro immagini devono generare $im phi$ e sapendo la seconda condizione cioè $im phi=V$ la scelta più elementare è:
$phi(v3)=v1$**
$phi(v4)=v2$**
Perchè? perchè così le immagini di v3 e v4 generano V, ma generano anche $im phi$ quindi $V=im phi$.
Ora si generalizza: ci sono altri modi per rispettare le due condizioni? Nota: devi lavorare sulle equazioni che ho marcato con **
certo ora ho capito!!era banale!cmq si le immagini $phi(v_3)$ e $phi(v_4)$ si possono scrivere cosi:
$phi(v_3)=h(v_1)$
$phi(v_4)=h(v_2)$
risultano cmq linearmente indipendenti (e quindi generano $imf phi$ inoltre stanno in V e noi sappiamo che
$im phi=V$...quindi ora dovrei andare a cercare la matrice associata a $phi$ conoscendo queste condizioni:
$phi(-1,1,0,0)=(0,0,0,0)$
$phi(-1,0,1,1)=(0,0,0,0)$
$phi(a,b,c,d)=h(-1,1,0,0)$
$phi(j,k,m,n)=h(-1,1,0,0)$
...ma quidi la matrice risultera pieni di parametri(non un solo h)??
$phi(v_3)=h(v_1)$
$phi(v_4)=h(v_2)$
risultano cmq linearmente indipendenti (e quindi generano $imf phi$ inoltre stanno in V e noi sappiamo che
$im phi=V$...quindi ora dovrei andare a cercare la matrice associata a $phi$ conoscendo queste condizioni:
$phi(-1,1,0,0)=(0,0,0,0)$
$phi(-1,0,1,1)=(0,0,0,0)$
$phi(a,b,c,d)=h(-1,1,0,0)$
$phi(j,k,m,n)=h(-1,1,0,0)$
...ma quidi la matrice risultera pieni di parametri(non un solo h)??
Perchè hai messo a,b,c,d,ecc...?
v3 e v4 li hai già scelti, andavano bene quelli che avevi scritto.
Dovrebbero rimanere 2 parametri.
Infatti una volta che poni $v1 to 0$, $v2 to 0$ devi imporre che le immagini di v3 e v4 (quelli sopra) generino V cioè che $phi(v3)$ e $phi(v4)$ rispettino le due equazioni che descrivono V e che siano linearmente indipendenti.
Quindi farei:
$phi(v3)=(a,b,c,d)$
$phi(v3)=(e,f,g,h)$
Quindi imporrei le equazioni di V.
${(a+b+d=0),(c-d=0),(e+f+h=0),(g-h=0):}$
Risolverei il sistema e poi imporrei che i due vettori risultanti siano linearmente indipendenti. Dovrebbero rimanere 2 parametri.
v3 e v4 li hai già scelti, andavano bene quelli che avevi scritto.
Dovrebbero rimanere 2 parametri.
Infatti una volta che poni $v1 to 0$, $v2 to 0$ devi imporre che le immagini di v3 e v4 (quelli sopra) generino V cioè che $phi(v3)$ e $phi(v4)$ rispettino le due equazioni che descrivono V e che siano linearmente indipendenti.
Quindi farei:
$phi(v3)=(a,b,c,d)$
$phi(v3)=(e,f,g,h)$
Quindi imporrei le equazioni di V.
${(a+b+d=0),(c-d=0),(e+f+h=0),(g-h=0):}$
Risolverei il sistema e poi imporrei che i due vettori risultanti siano linearmente indipendenti. Dovrebbero rimanere 2 parametri.
ok grazie davvero tanto sei stato gentilissimo...cmq oggi ho fatto l esame e c era qualcosa di simile!!!grazie ancora ciao ciao!
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