Matrice associata ad una applicazione lineare e autovalori
Ciao.Qualcuno può aiutarmi su questo esercizio?
Sia $T:$ $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
$ T(1,0,0) = (1,1,0) $
$ T(0,2,0) = (2,0,2) $
$ T(0,0,-1) = (2,1,1) $
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.
Allora io avevo pensato di ricavarmi la matrice associata all'applicazione lineare e calcolarmi il rango: se il rango è uguale a 3 è iniettiva, se il rango è minore di 3 non è iniettiva. Per gli autovalori non c'è problema li so calcolare. Per verificare se T è lineare da definizione $ T(\alphax + \betay) = \alphaT(x) + \betaT(y).
Però il mio problema è risalire alla matrice associata. Inoltre a cosa la devo applicare la definizione di linearità?
Sia $T:$ $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
$ T(1,0,0) = (1,1,0) $
$ T(0,2,0) = (2,0,2) $
$ T(0,0,-1) = (2,1,1) $
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.
Allora io avevo pensato di ricavarmi la matrice associata all'applicazione lineare e calcolarmi il rango: se il rango è uguale a 3 è iniettiva, se il rango è minore di 3 non è iniettiva. Per gli autovalori non c'è problema li so calcolare. Per verificare se T è lineare da definizione $ T(\alphax + \betay) = \alphaT(x) + \betaT(y).
Però il mio problema è risalire alla matrice associata. Inoltre a cosa la devo applicare la definizione di linearità?
Risposte
Se non ricordo male la linearità segue immediatamente dal fatto che $B = {(1, 0, 0),(0, 2, 0),(0, 0, -1)}$ è una base di $RR^3$.
Come matrice ti conviene prendere $M_{B}$ che dovrebbe venire immediata da calcolare
Come matrice ti conviene prendere $M_{B}$ che dovrebbe venire immediata da calcolare
"Gatto89":
Se non ricordo male la linearità segue immediatamente dal fatto che $B = {(1, 0, 0),(0, 2, 0),(0, 0, -1)}$ è una base di $RR^3$.
Come matrice ti conviene prendere $M_{B}$ che dovrebbe venire immediata da calcolare
Scusa ma se io non ho la base canonica del tipo $B = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}$ come faccio a trovare la vera matrice associata? La prima terna di vettori è uguale alla prima terna della base canonica. La seconda no. Quindi divido il trasformato per 2 e ottengo $ (1,0,1) $ invece che $ (2,0,2) $.
Anche la terza terna è diversa dalla canonica e moltiplico per -1 e ottengo $ (-2,-1,-1) $
$((1,1,0),(1,0,1),(-2,-1,-1))$ dovrebbe essere così la matrice su cui calcolare gli autovalori?
Per l'iniettività dalla matrice $((1,1,0),(1,0,1),(-2,-1,-1))$ ottengo la squadra $((1,1,0),(0,-1,1),(0,0,0))$ . Quindi il rango di A è 2 ed essendo minore di n=3 ( $ RR^n $ $=$ $ RR^3 $ ) allora non è iniettiva?
Può essere giusto come ragionamento? La matrice $((1,1,0),(1,0,1),(-2,-1,-1))$ è corretta?
"gago":
Sia $T:$ $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
$ T(1,0,0) = (1,1,0) $
$ T(0,2,0) = (2,0,2) $
$ T(0,0,-1) = (2,1,1) $
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.
La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è
$((1,1,-2),(1,0,-1),(0,1,-1))$
"franced":
[quote="gago"]
Sia $T:$ $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
$ T(1,0,0) = (1,1,0) $
$ T(0,2,0) = (2,0,2) $
$ T(0,0,-1) = (2,1,1) $
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.
La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è
$((1,1,-2),(1,0,-1),(0,1,-1))$[/quote]
scusa ma perchè a me torna uguale alla tua ma trasposta?
"gago":
[quote="franced"][quote="gago"]
Sia $T:$ $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
$ T(1,0,0) = (1,1,0) $
$ T(0,2,0) = (2,0,2) $
$ T(0,0,-1) = (2,1,1) $
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.
La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è
$((1,1,-2),(1,0,-1),(0,1,-1))$[/quote]
scusa ma perchè a me torna uguale alla tua ma trasposta?[/quote]
Attenzione:
le colonne di una matrice ti danno le immagini dei vettori della base canonica.
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