Matrice associata ad una applicazione lineare

[jhonny000]

E' un piacere conoscervi, sono nuovo ma cercherò di essere il più preciso possibile e soprattutto di rispettare e seguire un modo corretto nel postare.

Andiamo al problemino.

matrici associate ad applicazioni lineari:

traccia:

Sia f : R2,2 ---> R2,2 l'applicazione così definita: f $( ( x , y ),( z , t ) )$ = $ ( ( z , t ),( x-y , y ) )$

si scriva la matrice A associata ad f rispetto la base

f1 =$ ( ( -1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$ , f2 = $ ( ( 0 , 2 ),( 0 , 0 ) )$, f3 = $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) )$, f4 = $( ( 0 , 0 ),( 0 , -1 ) )$

Questa è la traccia..

e questo è come la risolverei io sicuramente sbagliando:

f $( ( -1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$ =$ ( ( 0 , 0 , -1 , 0 ) )$

f $( ( 0 , 2 ),( 0 , 0 ) )$ = $( ( 0 , 0 , -2 , 2 ) )$

f $( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) )$ = $( ( 1 , 0 , -1 , 1 ) )$

f $( ( 0 , 0 ),( 0 , -1 ) )$ =$ ( ( 0 , -1 , 0 , 0 ) ) $


ottenendo la matrice associata

A=$ ( ( 0 , 0 , -1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , -2 , 2 ) ),( ( 1 , 0 , -1 , 1 ) ),( ( 0 , -1 , 0 , 0 ) ) $

Riuscireste a darmi una dritta? Ho fatto altri numerosi esercizi e ho notato che dove ho una base canonica e non una qualsiasi come in questo caso se seguo il ragionamento scritto sopra il risultato è esatto

cosa fare quindi?


Grazie in anticipo...scusate la rogna

[miuemia]

inizia a scrivere le formule utilizzando il formulario .... così si capiscono meglio!

[jhonny000]

bene così?

[jhonny000]

dunque mi dareste una mano?

[_prime_number]

Dimentichi di scrivere il risultato rispetto alla base.
Ad esempio $f(f_1)$ è quella che dici te rispetto alla base canonica, ma ha coordinate $(0,-1/2,1,0)$ rispetto alla base data.

Paola

[jhonny000]

in base a quali calcoli e/o procedimenti raggiungi quel risultato?

Giovanni

[_prime_number]

Modo veloce, se possibile: ad occhio.
Modo tradizionale: crei il sistema lineare
[tex]v=x_1 f_1+ x_2 f_2 + x_3 f_3 + x_4 f_4[/tex]
dove $v$ è il vettore di cui devi calcolare le coordinate, le $x_i$ sono le incognite che poi saranno le tue coordinate rispetto alla base ${f_i}$.

Paola

[Antimius]

Quando hai la base canonica il risultato è corretto perché vettori numerici (nel caso in cui sei in $RR^n$) e vettori di coordinate coincidono (anche se qui i tuoi vettori sono le matrici, ma puoi comunque vederle come elementi di $RR^4$)

Nella prima colonna della matrice non devi mettere $(0,0,-1,0)$, ma le sue coordinate rispetto alla base che ti viene data.
$(0,0,-1,0)=0(-1,0,0,0)+1/2 (0,2,0,0)-1(0,1,1,0)+0(0,0,0,-1)$ (dove ho scritto la tua base come se stessimo in $RR^4$, tanto i due spazi sono identificabili tramite un ovvio isomorfismo). Quindi il vettore di coordinate sarà $(0,1/2,-1,0)$. Lo stesso discorso vale per le altre colonne.
Riguardati l'argomento, che mi sa che hai fatto un po' di confusione.