Matrice associata ad un riferimento
Ciao a tutti,
ho svolto questo esercizio ma ho parecchi dubbi sul secondo punto, potreste aiutarmi?
intanto vi posto l'esercizio e cosa ho fatto io:
Data la Matrice $A = ((1,-1,1),(-1,1,1),(-1,-1,3))$
a)Calcolare autovalori ed autovettori di A
b)se l'applicazione $f(A)$ è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad $f(A)$ in un sistema di riferimento di autovettori
Io ho iniziato trovandomi il polinomio caratteristico, autovalori ed autospazi
In particolare gli autovalori sono 2(con molteplicità 2) ed 1
gli autospazi sono:
$A_1={(1,1,1)}$
$A_2={(1,0,1),(0,1,1)}$
Cosi ho trovato gli autovettori ed autovalori e risolto il primo quesito.
Posso anche dire che la matrice è diagonalizzabile perchè tutti gli autovalori hanno molteplicità algebrica = molteplicità geometria
Per la matrice associata ho però parecchi dubbi.
Io ho preso tutti gli autovettori e li ho messi come colonna della matrice, trovandomi qualcosa del genere:
$((1,1,0),(1,0,1),(1,1,1))$
Ho sbagliato o l'idea è giusta?
Grazie mille
ho svolto questo esercizio ma ho parecchi dubbi sul secondo punto, potreste aiutarmi?
intanto vi posto l'esercizio e cosa ho fatto io:
Data la Matrice $A = ((1,-1,1),(-1,1,1),(-1,-1,3))$
a)Calcolare autovalori ed autovettori di A
b)se l'applicazione $f(A)$ è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad $f(A)$ in un sistema di riferimento di autovettori
Io ho iniziato trovandomi il polinomio caratteristico, autovalori ed autospazi
In particolare gli autovalori sono 2(con molteplicità 2) ed 1
gli autospazi sono:
$A_1={(1,1,1)}$
$A_2={(1,0,1),(0,1,1)}$
Cosi ho trovato gli autovettori ed autovalori e risolto il primo quesito.
Posso anche dire che la matrice è diagonalizzabile perchè tutti gli autovalori hanno molteplicità algebrica = molteplicità geometria
Per la matrice associata ho però parecchi dubbi.
Io ho preso tutti gli autovettori e li ho messi come colonna della matrice, trovandomi qualcosa del genere:
$((1,1,0),(1,0,1),(1,1,1))$
Ho sbagliato o l'idea è giusta?
Grazie mille
Risposte
La matrice che hai scritto rappresenta la matrice per il passaggio dalla base canonica alla base formata dagli autovettori.
Se bene interpreto la domanda, non ti è richiesta questa matrice ma quella in forma diagonale che sai esistere ( se sono giusti i tuoi calcoli che non ho controllato ) e che è la matrice rappresentativa dell'applicazione rispetto alla base formata dagli autovettori.
Se bene interpreto la domanda, non ti è richiesta questa matrice ma quella in forma diagonale che sai esistere ( se sono giusti i tuoi calcoli che non ho controllato ) e che è la matrice rappresentativa dell'applicazione rispetto alla base formata dagli autovettori.
Umh..praticamente sapendo che $P^-1AP = D$, io ho trovato $P$ ma adesso devo calcolarmi $D$ giusto?
Non serve... prendi la tua base di autovettori ${ (1,1,1), (1,0,1) , (0,1,1) }$. Sai che la matrice associata a questa base è la matrice che ha per colonne le immagini dei vettori della base rispetto a $f$, scritti rispetto alla base stessa... ma tu sai già che $f(v_i) = \lambda_iv_i$, quindi come sarà fatta la tua matrice?
"Gatto89":
Non serve... prendi la tua base di autovettori ${ (1,1,1), (1,0,1) , (0,1,1) }$. Sai che la matrice associata a questa base è la matrice che ha per colonne le immagini dei vettori della base rispetto a $f$, scritti rispetto alla base stessa... ma tu sai già che $f(v_i) = \lambda_iv_i$, quindi come sarà fatta la tua matrice?
Scusami ma c'è qualcosa che mi sfugge
Se faccio $f(v_i) = \lambda_iv_i$ mi risulta:
$f(1,1,1)=1(1,1,1)=(1,1,1)$
$f(1,0,1)=2(1,0,1)=(2,0,2)$
$f(0,1,1)=2(0,1,1)=(0,2,2)$
Che non formano una matrice diagonale
Io mi sono calcolato la $D$ di cui parlavo prima e mi trovo una matrice composta esclusivamente dagli autovalori della funzione sulla diagonale principale
I risultati sono giusti, ma non devi esprimerli rispetto alla base canonica ma rispetto alla base di partenza... per esempio, $f(v_1) = v_1 = 1\cdotv_1 +0\cdotv_2 +0\cdotv_3$ quindi la tua prima colonna (che deve essere quella dei coefficenti del vettore rispetto alla base) sarà $((1),(0),(0))$. Quindi le altre? 
"Gatto89":
I risultati sono giusti, ma non devi esprimerli rispetto alla base canonica ma rispetto alla base di partenza... per esempio, $f(v_1) = v_1 = 1\cdotv_1 +0\cdotv_2 +0\cdotv_3$ quindi la tua prima colonna (che deve essere quella dei coefficenti del vettore rispetto alla base) sarà $((1),(0),(0))$. Quindi le altre?
Non riesco a seguirti
quando tu fai $f(v_1) = v_1 = 1\cdotv_1 +0\cdotv_2 +0\cdotv_3$ non ti stai riferendo alla base canonica di $RR^3$ ?
posso inserirmi? Il testo dell'esercizio recita:
b)se l'applicazione f(A) è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad f(A) in un sistema di riferimento di autovettori
è chiaro perciò che la nuova matrice associata non va espressa nella base canonica, ma nella base formata proprio dagli autovettori!
e quindi è facile capire come viene... ad ogni modo se si fanno i calcoli per trovare D:
P-1AP=D,
il risultato è lo stesso... magari conviene fare tutti questi calcoli almeno una volta, per scoprire cosa succede?
spero che il mio contributo possa servire, ciao!
b)se l'applicazione f(A) è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad f(A) in un sistema di riferimento di autovettori
è chiaro perciò che la nuova matrice associata non va espressa nella base canonica, ma nella base formata proprio dagli autovettori!
e quindi è facile capire come viene... ad ogni modo se si fanno i calcoli per trovare D:
P-1AP=D,
il risultato è lo stesso... magari conviene fare tutti questi calcoli almeno una volta, per scoprire cosa succede?
spero che il mio contributo possa servire, ciao!
fra l'altro moltiplicare a destra e a sinistra rispettivamente per P e per la sua inversa ha proprio lo scopo di cambiare la base di riferimento di A per passare dalla base canonica alla base formata da autovettori. Giusto?
"Marshal87":
[quote="Gatto89"]I risultati sono giusti, ma non devi esprimerli rispetto alla base canonica ma rispetto alla base di partenza... per esempio, $f(v_1) = v_1 = 1\cdotv_1 +0\cdotv_2 +0\cdotv_3$ quindi la tua prima colonna (che deve essere quella dei coefficenti del vettore rispetto alla base) sarà $((1),(0),(0))$. Quindi le altre?
Non riesco a seguirti
quando tu fai $f(v_1) = v_1 = 1\cdotv_1 +0\cdotv_2 +0\cdotv_3$ non ti stai riferendo alla base canonica di $RR^3$ ?[/quote]
No, con ${v_1, v_2, v_3}$ mi sto riferendo alla base di autovettori che hai trovato, che ovviamente è diversa dalla base canonica quindi anche le coordinate di ogni vettore rispetto ad essa saranno diverse dalle coordinate dello stesso vettore rispetto alla base canonica.
In particolare, una base di autovettori è molto comoda perchè i calcoli vengono molto più semplici in quanto $f(v_i) = \lambda_iv_i$; se proprio non ti viene come debba essere la matrice (o se ti viene e hai dubbi
) prova a farti il calcolo proposto da ogives così fatto una volta non te lo scordi più
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo