Matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base

[Engineer in progress]

"Sia B={e1+e2 ; e1-e2} una base di R2 e T:R2-->R2 l'unico endomorfismo tale che T(1;1)=(3;-1) e T(1;-1)=(9;-3).
Determinare gli autovalori e gli autospazi di T, dimostrare che T è diagonalizzabile e trovare una base rispetto a cui la matrice associata a T è diagonale."

Salve a tutti !
Colto da profonda disperazione geometrica confido nella vostra sapienza per aiutarmi a risolvere quest'inezia che mi tormenta da tutto il giorno !

Dunque il mio problema è il seguente:
1) non sono in grado di determinare la matrice associata all'endomorfismo T rispetto alla base B (ciò mi impedisce di portare a termine la risoluzione dell'esercizio).
2) quando vado a calcolare l'autovettore utilizzando il sistema (A-λI)x=0, ottengo un sistema ... Però non ho capito come ricavare da esso i vettori
3) quando vado a calcolare l'autospazio, come lo trovo il dimker(A-λI)=0 ?

Insomma se mi risolvete tutto l'esercizio è meglio !

[/code]

[franced]

"Engineer in progress":
"Sia B={e1+e2 ; e1-e2} una base di R2 e T:R2-->R2 l'unico endomorfismo tale che T(1;1)=(3;-1) e T(1;-1)=(9;-3).
Determinare gli autovalori e gli autospazi di T, dimostrare che T è diagonalizzabile e trovare una base rispetto a cui la matrice associata a T è diagonale."

Prova per prima cosa a ricavarti i vettori della base canonica come comb. lineari dei tuoi vettori:

$((1),(0)) = lambda_1 ((1),(1)) + lambda_2 ((1),(-1))$

$((0),(1)) = mu_1 ((1),(1)) + mu_2 ((1),(-1))$

poi la strada è tutta in discesa!

[Engineer in progress]

Ehm ... Sinceramente non ho capito molto bene il tuo suggerimento !
A che cosa mi servono i vettori comb.lin rispetto alla base canonica [che sono (1/2;1/2) e (1/2;-1/2)] ?

[Alexp1]

Ciao,
ti servono per trovare la matrice associata all'endomorfismo..

allora come giustamente hai calcolato tu si ottiene:

$((1),(0))=1/2((1),(1))+1/2((1),(-1))$, da cui applicando le immagini:
$T((1),(0))=1/2((3),(-1))+1/2((9),(-3))=((6),(-2))$

stessa cosa fai per l'altro versone canonico, ossia:

$((0),(1))=1/2((1),(1))-1/2((1),(-1))$, da cui applicando le immagini:
$T((1),(0))=1/2((3),(-1))-1/2((9),(-3))=((-3),(1))$

Ora le due colonne messe in ordine formano la matrice associata all'endomorfismo, che è:

$A=|(6, -3),(-2,1)|$.........per fare una prova della correttezza, recuperi l'applicazione che sarà $T((x),(y))=((6x-3y),(-2x+y))$ e sostituendo dentro i vettori, devono tornarti le immagini.

[Engineer in progress]

Grazie

[burstone]

Salve a tutti sono nuovo del forum, volevo chiedere se è possibile continuare la risoluzione del punto che dice "determina gli autospazi di T"

cordiali saluti.

[ogives]

ci provo io...

discutendo il determinante di (A-lambdaI) uguale a zero si ricavano, se esistono reali, gli autovalori. Ne prendo uno alla volta, li risostituisco nell'espressione e discuto il rango della matrice ottenuta (che identifica l'autospazio relativo all'autovalore che ho sostituito). La (dimensione della matrice) - (il suo rango) mi dà la dimensione dell'autospazio, ovvero il numero di vettori da trovare per formare la base.



la diagonalizzabilità si vede invece dalla coincidenza, per ogni autovalore, e ammesso che siano tutti reali, della molteplicità geometrica con quella algebrica

Giusto? qualcuno può confermare o smentire?[/tex]

[burstone]

non so se è fatto bene ma grazie mille