Matrice associata ad un endomorfismo lineare, immagini dei vettori.

[aleSchiara]

Salve, preparanto l'esame di algebra mi sono imbattuto in un esercizio mai visto.
ho provato a risolverlo ma confondo vettori e basi canoniche nella risoluzione delle incognite.
visto che le immagini dei vettori sono somme di altri. vorrei una mano solo nella prima parte proprio quella riguardante l'associazione della matrice all'endomorfismo datomi.

ecco il testo.

dato l'endomorfismo L che va da R4 $ rArr $ R4 tale che:
$ L'img( ( 1 ),( 0 ),( 2 ),( 0 ) ) =( ( -4 ),( 0 ),( -2 ),( 0 ) ) $ $ L'img( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( -2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ $ L'img( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ $ L'img( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) =( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 3 ) ) $
si trovi la matrice associata L rispetto alle basi canoniche.
grazie mille per l'aiuto.
Alessio.

[j18eos]

Se chiami \(\displaystyle\{\underline{v}_1,\dotsc,\underline{v}_4\}\) i vettori della base data, allora devi determinare degli scalari \(\displaystyle\lambda_i^j\) tali che \(\displaystyle\underline{e}_i=\lambda_i^j\underline{v}_j\) (ove ho utilizzato la convenzione di Einstein).

Passando alle coordinate, ti verranno dei sistemi di equazioni lineari nelle incognite \(\displaystyle\lambda_i^j\)...

Ti scrivo pure le soluzioni ('ché le vedo ad occhio):
\[
\underline{e}_1=\underline{v}_1-2\underline{v}_2,\\
\underline{e}_2=\frac{\underline{v}_3+\underline{v}_4}{2},\\
\underline{e}_3=\underline{v}_2,\\
\underline{e}_3=\frac{\underline{v}_3-\underline{v}_4}{2}.
\]
Arrivato a questo, se ho inteso bene, sapresti procedere da solo!

[aleSchiara]

GRAZIE MILLE.
Vedendolo cosi' risolto ho capito qual'era il mio errore.
Consideravo erroneamente il vettore con la base canonica.
grazie mille ancora.
Alessio.