Matrice associata ad un endomorfismo
Ciao ragazzi! Purtroppo ho un problema con un esercizio sui cambiamenti di base.
L'esercizio chiede innanzitutto di trovare una base $B$ del sottospazio $W \subset \mathbb{R}^4$ di equazione cartesiana $x_1 +x_2 - x_3 -x_4 =0$. Poi, sia $T:W \rightarrow \mathbb{R}^4$ l'applicazione lineare data da $T(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1 - x_2 - x_3, x_1+2x_2 + x_4, 2x_1 + x_3 + x_4, x_2 -2x_3)$. Verifica che $Im T \subseteq W$, per cui possiamo considerare $T$ come un endomorfismo di $W$, e trova la matrice che rappresenta questo endomorfismo rispetto alla base $B$.
Per quanto riguarda il primo punto, una base di $W$ è $B_W= {(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}$, per cui $dim W =3$. Poi, per verificare che $Im T \subseteq W$ ho calcolato le immagini dei 3 vettori di base tramite l'applicazione $T$:
$T(-1,1,0,0)=(-2,1,-2,1)$
$T(1,0,1,0)=(0,1,3,-2)$
$T(1,0,0,1)=(1,2,3,0)$
I nuovi vettori sono linearmente indipendenti, e quindi costituiscono una base per $Im T$: $B_{Im T}={(-2,1,-2,1),(0,1,3,-2),(1,2,3,0)}$ e $dim Im T=3$.
Scrivendo ciascuno di questi 3 vettori come combinazione lineare dei vettori che formano $B_W$ ho verificato che $Im T \subseteq W$, per cui si tratta di un endomorfismo. Il problema sorge quando devo scrivere la matrice associata a questo endomorfismo. Come faccio?
L'esercizio chiede innanzitutto di trovare una base $B$ del sottospazio $W \subset \mathbb{R}^4$ di equazione cartesiana $x_1 +x_2 - x_3 -x_4 =0$. Poi, sia $T:W \rightarrow \mathbb{R}^4$ l'applicazione lineare data da $T(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1 - x_2 - x_3, x_1+2x_2 + x_4, 2x_1 + x_3 + x_4, x_2 -2x_3)$. Verifica che $Im T \subseteq W$, per cui possiamo considerare $T$ come un endomorfismo di $W$, e trova la matrice che rappresenta questo endomorfismo rispetto alla base $B$.
Per quanto riguarda il primo punto, una base di $W$ è $B_W= {(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}$, per cui $dim W =3$. Poi, per verificare che $Im T \subseteq W$ ho calcolato le immagini dei 3 vettori di base tramite l'applicazione $T$:
$T(-1,1,0,0)=(-2,1,-2,1)$
$T(1,0,1,0)=(0,1,3,-2)$
$T(1,0,0,1)=(1,2,3,0)$
I nuovi vettori sono linearmente indipendenti, e quindi costituiscono una base per $Im T$: $B_{Im T}={(-2,1,-2,1),(0,1,3,-2),(1,2,3,0)}$ e $dim Im T=3$.
Scrivendo ciascuno di questi 3 vettori come combinazione lineare dei vettori che formano $B_W$ ho verificato che $Im T \subseteq W$, per cui si tratta di un endomorfismo. Il problema sorge quando devo scrivere la matrice associata a questo endomorfismo. Come faccio?
Risposte
Mi pare che non sia richiesto di dimostrare che i vettori del sistema ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ siano indipendenti. Avresti potuto semplicemente osservare che le coordinate di ciascun vettore soddisfano le equazioni di $W$ e dunque $ImT\subseteq W$.
Il fatto che i vettori di ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ siano indipendenti ti dice che $W$ e $ImT$ sono isomorfi tra di loro e hanno dimensione $3$. Sono sottospazi di $RR^4$ isomorfi a $RR^3$.
Devi trovare le componenti dei vettori ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ rispetto alla base ${(−1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}$. Mi pare che tu lo abbia già fatto!
La matrice che rappresenta tale endomorfismo (in realtà è un ismorfismo) che ordine ha?
Il fatto che i vettori di ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ siano indipendenti ti dice che $W$ e $ImT$ sono isomorfi tra di loro e hanno dimensione $3$. Sono sottospazi di $RR^4$ isomorfi a $RR^3$.
Devi trovare le componenti dei vettori ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ rispetto alla base ${(−1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}$. Mi pare che tu lo abbia già fatto!
La matrice che rappresenta tale endomorfismo (in realtà è un ismorfismo) che ordine ha?
Scrivendo le componenti dei vettori ${(−2,1,−2,1),(0,1,3,−2),(1,2,3,0)}$ rispetto alla base ${(−1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}$ trovo una matrice $3 \times 3$ (infatti un'equazione viene banale). E' questo il problema. Poi come faccio a moltiplicare una matrice $3 \times 3$ con un vettore a 4 componenti?
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