Matrice associata ad f nei riferimenti R ed R'
Sto studiando un esame di geometria, mi sono bloccato su questo esercizio
Si consideri l'applicazione lineare $f:R^4→R^3$ tale che
$f(x1;x2;x3;x4)=(2x1-2x4;x2+x3+x4;x1+x2+x3)$.
Scrivere la matrice associata a f nei riferimenti:
$R=((1;0;0;0);(0;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1))$ e $R'=((0;0;1);(1;0;0);(0;1;0))$:
Qualcuno può aiutarmi con la risoluzione
Ho provato a svolgerlo cercando le formule di passaggio dal riferimento $R$ al riferimento $R'$ ma mi sono bloccato.
Grazie
Si consideri l'applicazione lineare $f:R^4→R^3$ tale che
$f(x1;x2;x3;x4)=(2x1-2x4;x2+x3+x4;x1+x2+x3)$.
Scrivere la matrice associata a f nei riferimenti:
$R=((1;0;0;0);(0;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1))$ e $R'=((0;0;1);(1;0;0);(0;1;0))$:
Qualcuno può aiutarmi con la risoluzione
Ho provato a svolgerlo cercando le formule di passaggio dal riferimento $R$ al riferimento $R'$ ma mi sono bloccato.
Grazie
Risposte
Beh semplicemente applica la definizione di matrice associata... e sopratutto, cosa sono le colonne di questa matrice? 
Io ho ragionato in questo modo:
la matrice associata ad $f$ è:
$((2,0,0,-2),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$
Trovo le formule di passaggio del riferimento
$(2,0,0,-2)=2(1,0,0,0)+0(0,1,0,0)+0(0,0,1,0)-2(0,0,0,1)$
$ (0,1,1,1)=0(1,0,0,0)+1(0,1,0,0)+1(0,0,1,0)+1(0,0,0,1)$
$ (1,1,1,0)=1(1,0,0,0)+1(0,1,0,0)+1(0,0,1,0)+0(0,0,0,1)$
dopo di che ricavo le formule vere e proprie:
$\{(x'_1=2x_1+2x_3),(x'_2= x_2+x_3),(x'_3= x_2+x_3),(x'_4=-2x_1+x_2):}$
Adesso non so che fare.
Come proseguo?
la matrice associata ad $f$ è:
$((2,0,0,-2),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$
Trovo le formule di passaggio del riferimento
$(2,0,0,-2)=2(1,0,0,0)+0(0,1,0,0)+0(0,0,1,0)-2(0,0,0,1)$
$ (0,1,1,1)=0(1,0,0,0)+1(0,1,0,0)+1(0,0,1,0)+1(0,0,0,1)$
$ (1,1,1,0)=1(1,0,0,0)+1(0,1,0,0)+1(0,0,1,0)+0(0,0,0,1)$
dopo di che ricavo le formule vere e proprie:
$\{(x'_1=2x_1+2x_3),(x'_2= x_2+x_3),(x'_3= x_2+x_3),(x'_4=-2x_1+x_2):}$
Adesso non so che fare.
Come proseguo?
La matrice associata ai riferimenti è quella che hai scritto all'inizio del secondo post... l'esercizio cosa altro ti chiede?
Si lo so, ma io a partire da
$((2,0,0,-2),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$
devo trovare la matrice associata ai riferimenti
$R=((1;0;0;0);(0;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1))$ e $R'=((0;0;1);(1;0;0);(0;1;0)):$
Cioè devo trovare le formule di passaggio dal riferimento dato, cioè la matrice associata all'applicazione $f$, al riferimento $R$.
$((2,0,0,-2),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$
devo trovare la matrice associata ai riferimenti
$R=((1;0;0;0);(0;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1))$ e $R'=((0;0;1);(1;0;0);(0;1;0)):$
Cioè devo trovare le formule di passaggio dal riferimento dato, cioè la matrice associata all'applicazione $f$, al riferimento $R$.
Quella è la matrice associata ai due riferimenti!
Sia $E_1 E_2 E_3 E_4$ la base di R e $F_1 F_2 F_3$ la base di $R'$; hai che, se $v = a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 +a_4E_4$, allora $f(v) = b_1F_1 + b_2F_2 +b_3F_3$ dove $((b_1), (b_2), (b_3)) = A \cdot ((a_1), (a_2), (a_3), (a_4))$ dove $A = M_{R, R'}(f)$ è la matrice che hai scritto te...
Sia $E_1 E_2 E_3 E_4$ la base di R e $F_1 F_2 F_3$ la base di $R'$; hai che, se $v = a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 +a_4E_4$, allora $f(v) = b_1F_1 + b_2F_2 +b_3F_3$ dove $((b_1), (b_2), (b_3)) = A \cdot ((a_1), (a_2), (a_3), (a_4))$ dove $A = M_{R, R'}(f)$ è la matrice che hai scritto te...
Non riesco a capire, puoi spiegarti meglio.
Per il riferimento $R=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ a intuito ho capito, visto che $R$ e una base naturale, ma per il riferimento $R'$? Quale dovrebbe essere la matrice associa a questo riferimento?
Comunque grazie per l'aiuto che mi hai dato fin'ora, inizio a capire,Forse.
Per il riferimento $R=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ a intuito ho capito, visto che $R$ e una base naturale, ma per il riferimento $R'$? Quale dovrebbe essere la matrice associa a questo riferimento?
Comunque grazie per l'aiuto che mi hai dato fin'ora, inizio a capire,Forse.
Allora, non esiste matrice associata singolarmente a $R$ o a $R'$ perchè per scrivere la matrice associata ti serve una base del dominio e una base del codominio.
Se ti è capitato di vedere per un applicazione $g:V rarr W$ e una base $e$ di $V$ la matrice $M_{e}(g)$, significa che $e$ era base sia di $V$ che di $W$ ovvero $g$ era un operatore lineare. Nel tuo caso chiaramente non è possibile farlo, in quanto $R^4$ e $R^3$ sono spazi vettoriali ben distinti con dimensioni e basi necessariamente diverse, pertanto per scrivere una matrice associata alla funzione ti serve una base di $R^4$ ovvero nel tuo caso $(R)$ e una base di $R^3$ ovvero $(R')$ e la matrice associata è quella che hai scritto te.
Se ti è capitato di vedere per un applicazione $g:V rarr W$ e una base $e$ di $V$ la matrice $M_{e}(g)$, significa che $e$ era base sia di $V$ che di $W$ ovvero $g$ era un operatore lineare. Nel tuo caso chiaramente non è possibile farlo, in quanto $R^4$ e $R^3$ sono spazi vettoriali ben distinti con dimensioni e basi necessariamente diverse, pertanto per scrivere una matrice associata alla funzione ti serve una base di $R^4$ ovvero nel tuo caso $(R)$ e una base di $R^3$ ovvero $(R')$ e la matrice associata è quella che hai scritto te.
Adesso mi è più chiaro.
Ma per fugare ogni dubbio ti chiedo un'utima cosa.
Il mio esercizio era diviso in due parti, la prima chiedeva:
Si consideri l'applicazione lineare $f:R4→R3$ tale che
$f(x1;x2;x3;x4)=(2x1-2x4;x2+x3+x4;x1+x2+x3).$.
(a) Determinare una base per il nucleo e una base per l'immagine di f.
Ho svolto e mi risulta:
$Base Im(f)= L{(2,0,1),(0,1,1)}$
$Base Ker(f)= L{(1,-1,0,1),(0,-1,1,0)}$
in cui $L$ è la combinazione lineare
La seconda parte chiedeva:
(b) Scrivere la matrice associata a f nei riferimenti:
$R = ((1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1))$ e $R' = ((0; 0; 1); (1; 0; 0); (0; 1; 0))$:
In questo caso lo svolgimento è lo stesso??
Grazie mille
Ma per fugare ogni dubbio ti chiedo un'utima cosa.
Il mio esercizio era diviso in due parti, la prima chiedeva:
Si consideri l'applicazione lineare $f:R4→R3$ tale che
$f(x1;x2;x3;x4)=(2x1-2x4;x2+x3+x4;x1+x2+x3).$.
(a) Determinare una base per il nucleo e una base per l'immagine di f.
Ho svolto e mi risulta:
$Base Im(f)= L{(2,0,1),(0,1,1)}$
$Base Ker(f)= L{(1,-1,0,1),(0,-1,1,0)}$
in cui $L$ è la combinazione lineare
La seconda parte chiedeva:
(b) Scrivere la matrice associata a f nei riferimenti:
$R = ((1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1))$ e $R' = ((0; 0; 1); (1; 0; 0); (0; 1; 0))$:
In questo caso lo svolgimento è lo stesso??
Grazie mille
La seconda parte mi sembra proprio l'esercizio che hai postato a inizio topic
La prima è giusta, giusto una precisazione formale
:
Base di $Im(f) = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}$ e
$Im(f) = L{(2, 0, 1), (0, 1, 1)} = <(2, 0, 1), (0, 1, 1)>$ o come dir si voglia
.
Similmente,
Base di $Ker(f) = {(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)}$ e
$Ker(f) = L{(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)} = <(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)>$.
La prima è giusta, giusto una precisazione formale
:Base di $Im(f) = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}$ e
$Im(f) = L{(2, 0, 1), (0, 1, 1)} = <(2, 0, 1), (0, 1, 1)>$ o come dir si voglia
.Similmente,
Base di $Ker(f) = {(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)}$ e
$Ker(f) = L{(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)} = <(1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 0)>$.
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