Matrice associata ad f mediante basi E ed F
Ciao a tutti. Non riesco a capire come ottenere la matrice associata ad una applicazione lineare mediante due basi E ed F date.
Per esempio, se ho $f:R^3->R^3$, l'applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
$A=((1 2 0),(0 1 2),(1 0 1))$.
Mi dice di calcolare $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ (dove $e_1, e_2, e_3$ sono i versori fondamentali di $R^3$).
Il risultato è $f(e_1)=e_1+e_3$; $f(e_2)=2e_1+e_2$; $f(e_3)= 2e_2+e_3$.
Poi continua dicendo di trovare la matrice $M_f^(B,C)$ , dove:
$B=(2e_1-e_2, e_1+e_2, e_3)$ e $C=(e_3, e_1, e_2)$.
Non ho idea di come farlo. In realtà sono due esercizi scritti di seguito presi dal greco valabrega (precisamente 9.2.2 e 9.2.3 del capitolo VI).
Grazie in anticipo a chi proverà ad aiutarmi!
Per esempio, se ho $f:R^3->R^3$, l'applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
$A=((1 2 0),(0 1 2),(1 0 1))$.
Mi dice di calcolare $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ (dove $e_1, e_2, e_3$ sono i versori fondamentali di $R^3$).
Il risultato è $f(e_1)=e_1+e_3$; $f(e_2)=2e_1+e_2$; $f(e_3)= 2e_2+e_3$.
Poi continua dicendo di trovare la matrice $M_f^(B,C)$ , dove:
$B=(2e_1-e_2, e_1+e_2, e_3)$ e $C=(e_3, e_1, e_2)$.
Non ho idea di come farlo. In realtà sono due esercizi scritti di seguito presi dal greco valabrega (precisamente 9.2.2 e 9.2.3 del capitolo VI).
Grazie in anticipo a chi proverà ad aiutarmi!
Risposte
Potresti calcolare direttamente l'espressione della $f$. Infatti si ha che $f(x,y,z)=(x+2y,y+2z,x+z)$
Scopriresti così che $f(e_1)=(1,0,1)$ e che $f(e_2)=(2,1,0)$, $f(e_3)=(0,2,1)$.
Per l'altra domanda invece basta ricordarsi la definizione di matrice associata rispetto a due base di una applicazione lineare.
La $j$-sima colonna è data dalle componenti rispetto alla base $C$ dell'immagine del $j$-simo vettore della base $B$.
Cioè la prima colonna sarà: $(0,-1,2)$ in quanto $f(2,-1,0)=(0,-1,2)=0e_1-e_2+2e_3$
Scopriresti così che $f(e_1)=(1,0,1)$ e che $f(e_2)=(2,1,0)$, $f(e_3)=(0,2,1)$.
Per l'altra domanda invece basta ricordarsi la definizione di matrice associata rispetto a due base di una applicazione lineare.
La $j$-sima colonna è data dalle componenti rispetto alla base $C$ dell'immagine del $j$-simo vettore della base $B$.
Cioè la prima colonna sarà: $(0,-1,2)$ in quanto $f(2,-1,0)=(0,-1,2)=0e_1-e_2+2e_3$
grazie ora almeno sono riuscito a capire qualcosa..
Se vuoi prova a fare l'esercizio ed io poi do un'occhiata! 
quello che non ho capito è, se all'inizio ci si basa sulla matrice
$M=((120),(012),(101))$ e l'a.l è $f(x,y,z)=(x+2y, y+2z, x+z)$, perchè rimane la stessa se si cambiano basi?
$M=((120),(012),(101))$ e l'a.l è $f(x,y,z)=(x+2y, y+2z, x+z)$, perchè rimane la stessa se si cambiano basi?
ciao a tutti sono nuovo del forum e quindi è la prima volta che vi scrivo...scusate se sbaglio qualcosa! a proposito infatti non sono sicuro di aver azzeccato il topic corretto ma ci proverò lo stesso
sono uno studente di ingegneria e mi sto scervellando sul perchè la famosa formula del cambiamento di base tramite Q (matrice di rotazione) di un tensore non corrisponda alla formula che si studia in algebra lineare per un endomorfismo: la prima è infatti $ T'=QT(Q^-1), la seconda è invece $ A' =(Q^-1)AQ. Secondo me non ci può essere questa differenza quindi penso che mi sfugga qualcosa....infatti per il cambio di coordinate di un vettore le formule coincidono $ v'=Qv. Spero in un vostro aiuto! l'esame è tra breve!!!!
sono uno studente di ingegneria e mi sto scervellando sul perchè la famosa formula del cambiamento di base tramite Q (matrice di rotazione) di un tensore non corrisponda alla formula che si studia in algebra lineare per un endomorfismo: la prima è infatti $ T'=QT(Q^-1), la seconda è invece $ A' =(Q^-1)AQ. Secondo me non ci può essere questa differenza quindi penso che mi sfugga qualcosa....infatti per il cambio di coordinate di un vettore le formule coincidono $ v'=Qv. Spero in un vostro aiuto! l'esame è tra breve!!!!
scusate ho fatto un casino....riscrivo il messaggio
mi sto scervellando sul perchè la famosa formula del cambiamento di base tramite Q (matrice di rotazione) di un tensore non corrisponda alla formula che si studia in algebra lineare per un endomorfismo : la prima è infatti $ T'=QT(Q^-1) $ la seconda $ A'=(Q^-1)AQ $ . secondo me non ci può essere questa differenza quindi penso mi sfugga qualcosa ...infatti per il cambio di coordinate di un vettore le formule coincidono $ v'=Qv $ . Spero in un vostro aiuto ! l'esame è tra breve!!
mi sto scervellando sul perchè la famosa formula del cambiamento di base tramite Q (matrice di rotazione) di un tensore non corrisponda alla formula che si studia in algebra lineare per un endomorfismo : la prima è infatti $ T'=QT(Q^-1) $ la seconda $ A'=(Q^-1)AQ $ . secondo me non ci può essere questa differenza quindi penso mi sfugga qualcosa ...infatti per il cambio di coordinate di un vettore le formule coincidono $ v'=Qv $ . Spero in un vostro aiuto ! l'esame è tra breve!!
"jrave":
quello che non ho capito è, se all'inizio ci si basa sulla matrice
$M=((120),(012),(101))$ e l'a.l è $f(x,y,z)=(x+2y, y+2z, x+z)$, perchè rimane la stessa se si cambiano basi?
Se cambi basi la matrice ovviamente cambia. L'espressione della $f$ no, perché è lei la "protagonista". Quella dalla quale costruisci la matrice.
In realtà dietro tutto questo c'è la matrice del cambiamento di base.
grazie dell'aiuto!
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