Matrice associata ad endomorfismo dato kernel e un'immagine
Sia $f$ l'endomorfismo di $RR_2[x]$ tale che
[tex]f(x^2 + x + 1) = x-2[/tex] e [tex]ker f = \{ax^2+(a-2b)x+b; a,b \in \mathbb{R} \}[/tex]
Si determini la matrice associata ad f rispetto alla base [tex]B = \{x^2+x, x-2, x\}[/tex]
Qualcuno mi potrebbe spiegare come risolvere questo esercizio? Io sono arrivato a dire che la prima colonna della matrice associata deve essere 0, dato che il primo vettore della base B fa parte del kernel, ma sto avendo difficoltà a capire come si svolge un esercizio di questo genere. (In generale, come ricavare un'applicazione lineare dati kernel e qualche immagine)
(Come posso mettere uno spazio nella definizione del kernel tra il polinomio e l'insieme di appartenenza dei parametri?)
Risposte
[tex]f(x^2 + x + 1) = f(x^2 - x + 1) + f(2 x) = 0 + 2 f(x) = x - 2[/tex]
Quindi $f(x) = 1/2 * x - 1$.
$f(x^2 + x) = 0$ ($a = 1$ e $b = 0$)
Resta da calcolare $f(x - 2)$. Per farlo noto che $f(x^2) + f(x) = 0$, quindi $- f(x^2) = f(x) = 1/2 * x - 1$. Allora:
$f(x - 2) = f(4x - 2 ) - 3 f(x) = 0 - 3 f(x) = - 3/2 * x + 3$
A meno di errori...
Quindi $f(x) = 1/2 * x - 1$.
$f(x^2 + x) = 0$ ($a = 1$ e $b = 0$)
Resta da calcolare $f(x - 2)$. Per farlo noto che $f(x^2) + f(x) = 0$, quindi $- f(x^2) = f(x) = 1/2 * x - 1$. Allora:
$f(x - 2) = f(4x - 2 ) - 3 f(x) = 0 - 3 f(x) = - 3/2 * x + 3$
A meno di errori...
Grazie mille!
Quindi, se ho capito, è questione di ragionare e trovare modi di ricondurre i vettori della base al caso dato sfruttando la linearità e il kernel. Credevo che (anche perchè è il terzo esercizio su 10 del mio eserciziario) fosse meramente questione di applicare un metodo standard per ricavare la matrice o l'endomorfismo. Bè, meglio così, preferisco questo tipo di esercizi!
Quindi, se ho capito, è questione di ragionare e trovare modi di ricondurre i vettori della base al caso dato sfruttando la linearità e il kernel. Credevo che (anche perchè è il terzo esercizio su 10 del mio eserciziario) fosse meramente questione di applicare un metodo standard per ricavare la matrice o l'endomorfismo. Bè, meglio così, preferisco questo tipo di esercizi!
"Learts":
Grazie mille!
Quindi, se ho capito, è questione di ragionare e trovare modi di ricondurre i vettori della base al caso dato sfruttando la linearità e il kernel.
Esattamente, bravo.
Dopo l'ingegnosa soluzione di Seneca non ci sarebbe molto da aggiungere. Tuttavia può forse interessare una soluzione del tutto generale. Per fare ciò sostituiamo ad ogni polinomio di secondo grado nella indeterminata x il vettore dei suoi coefficienti: \(\displaystyle ax^2+bx+c->(a,b,c) \),in modo che l'endomorfismo in \(\displaystyle \mathbb{R}_2[x[ \) diventa l'endomorfismo in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \).
Per i dati del problema deve essere :
\(\displaystyle \begin{cases}f(x^2+x+1)=f(1,1,1)=(0,1,-2)\\f(ax^2+(a-2b)x+b)=f(a,a-2b,b)=(0,0,0)\end{cases} \)
Ponendo \(\displaystyle a=2,b=1;a=1,b=-1 \) si ha il nuovo sistema che determina completamente l'endomorfismo:
\(\displaystyle \begin{cases}f(1,1,1)=(0,1,-2)\\f(2,0,1)=(0,0,0)\\f(1,3,-1)=(0,0,0)\end{cases} \)
Ora esprimiamo il generico vettore \(\displaystyle (x,y,z) \) in funzione di \(\displaystyle (1,1,1),(2,0,1),(1,3,-1) \) [che sono lin.ind.] ed abbiamo:
\(\displaystyle (x,y,z)=( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z)(1,1,1) + (\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}z)(2,0,1) + (\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{3}z)(1,3,-1) \)
Passando alle immagini si ha:
\(\displaystyle f(x,y,z)=( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z )(0,1,-2) + (\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}z)(0,0,0) + (\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{3}z)(0,0,0) \)
da cui facilmente si ricava che:
(a) \(\displaystyle f(x,y,z)=(0+0+0, -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z,x-y-2z)\)
La matrice rispetto alla base canonica \(\displaystyle (x^2,x,1)= ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) \) è allora:
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix}0,0,0\\-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\\1,-1,-2 \end{vmatrix} \)
Per avere la matrice rispetto alla base \(\displaystyle (x^2+x,x-2,x) \) calcoliamo le immagini corrispondenti mediante le (a) :
\(\displaystyle \begin{cases} f(1,1,0)=(0,0,0 )\\f(0,1,-2)=(0,-\frac{3}{2},3)\\f(0,1,0)=(0,\frac{1}{2},-1)\end{cases}\)
Infine la matrice B richiesta risulta essere:
\(\displaystyle B=\begin{vmatrix}0,0, 0\\0, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\\0, 3, -1\end{vmatrix}\)
Per i dati del problema deve essere :
\(\displaystyle \begin{cases}f(x^2+x+1)=f(1,1,1)=(0,1,-2)\\f(ax^2+(a-2b)x+b)=f(a,a-2b,b)=(0,0,0)\end{cases} \)
Ponendo \(\displaystyle a=2,b=1;a=1,b=-1 \) si ha il nuovo sistema che determina completamente l'endomorfismo:
\(\displaystyle \begin{cases}f(1,1,1)=(0,1,-2)\\f(2,0,1)=(0,0,0)\\f(1,3,-1)=(0,0,0)\end{cases} \)
Ora esprimiamo il generico vettore \(\displaystyle (x,y,z) \) in funzione di \(\displaystyle (1,1,1),(2,0,1),(1,3,-1) \) [che sono lin.ind.] ed abbiamo:
\(\displaystyle (x,y,z)=( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z)(1,1,1) + (\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}z)(2,0,1) + (\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{3}z)(1,3,-1) \)
Passando alle immagini si ha:
\(\displaystyle f(x,y,z)=( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z )(0,1,-2) + (\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}z)(0,0,0) + (\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{3}z)(0,0,0) \)
da cui facilmente si ricava che:
(a) \(\displaystyle f(x,y,z)=(0+0+0, -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z,x-y-2z)\)
La matrice rispetto alla base canonica \(\displaystyle (x^2,x,1)= ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) \) è allora:
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix}0,0,0\\-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\\1,-1,-2 \end{vmatrix} \)
Per avere la matrice rispetto alla base \(\displaystyle (x^2+x,x-2,x) \) calcoliamo le immagini corrispondenti mediante le (a) :
\(\displaystyle \begin{cases} f(1,1,0)=(0,0,0 )\\f(0,1,-2)=(0,-\frac{3}{2},3)\\f(0,1,0)=(0,\frac{1}{2},-1)\end{cases}\)
Infine la matrice B richiesta risulta essere:
\(\displaystyle B=\begin{vmatrix}0,0, 0\\0, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\\0, 3, -1\end{vmatrix}\)
Ho dovuto pensare più di quello che avrei immaginato a qualche passaggio, ma penso di aver compreso tutti i tuoi passaggi ed il loro perchè.
In pratica, riassumento, pensiamo $RR_2[x]$ come $RR^3$ prendendo i coefficienti (cosa abbastanza comune), troviamo due vettori che assieme a quello fornito formino una base di $RR^3$ e che appartengano al kernel, così da sapere le corrispondenti immagini che, ovviamente, sono il vettore nullo.
Esprimiamo il generico vettore di $RR^3$ come combinazione lineare della base che abbiamo creato (poi mi dovrai spiegare come hai trovato i coefficienti) e, per la linearità dell'applicazione, l'immagine di un generico vettore corrisponde alla combinazione lineare delle immagini dei vettori della base utilizzando gli stessi coefficienti.
In pratica abbiamo ora la "definizione" dell'applicazione lineare, quindi possiamo calcolare le immagini dei vettori della base richiesta.
A questo punto però, credo che tu abbia commesso un errore, perchè la matrice rappresentativa non è formata dalle immagini dei vettori della base ma dalle coordinate di suddette immagini rispetto alla base stessa. (per la base canonica le due cose coincidono [è questo che definisce quando una base è "canonica"?])
Ovvero credo ti manchi il passaggio:
[tex]\begin{cases}
f(1,1,0)=(0,0,0 ) = 0(1,1,0) + 0(0,1,-2) + 0(0,1,0)\\
f(0,1,-2)=(0,-\frac{3}{2},3) = 0(1,1,0) + -\frac{3}{2}(0,1,-2) + 0(0,1,0)\\
f(0,1,0)=(0,\frac{1}{2},-1) = 0(1,1,0) + \frac{1}{2}(0,1,-2) + 0(0,1,0)
\end{cases}[/tex]
Per cui la matrice risulta essere:
[tex]B=\begin{vmatrix}0,0, 0\\0, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\\0, 0, 0\end{vmatrix}[/tex]
Che è effettivamente la soluzione corretta dell'esercizio.
Comunque grazie per il metodo generale!
In pratica, riassumento, pensiamo $RR_2[x]$ come $RR^3$ prendendo i coefficienti (cosa abbastanza comune), troviamo due vettori che assieme a quello fornito formino una base di $RR^3$ e che appartengano al kernel, così da sapere le corrispondenti immagini che, ovviamente, sono il vettore nullo.
Esprimiamo il generico vettore di $RR^3$ come combinazione lineare della base che abbiamo creato (poi mi dovrai spiegare come hai trovato i coefficienti) e, per la linearità dell'applicazione, l'immagine di un generico vettore corrisponde alla combinazione lineare delle immagini dei vettori della base utilizzando gli stessi coefficienti.
In pratica abbiamo ora la "definizione" dell'applicazione lineare, quindi possiamo calcolare le immagini dei vettori della base richiesta.
A questo punto però, credo che tu abbia commesso un errore, perchè la matrice rappresentativa non è formata dalle immagini dei vettori della base ma dalle coordinate di suddette immagini rispetto alla base stessa. (per la base canonica le due cose coincidono [è questo che definisce quando una base è "canonica"?])
Ovvero credo ti manchi il passaggio:
[tex]\begin{cases}
f(1,1,0)=(0,0,0 ) = 0(1,1,0) + 0(0,1,-2) + 0(0,1,0)\\
f(0,1,-2)=(0,-\frac{3}{2},3) = 0(1,1,0) + -\frac{3}{2}(0,1,-2) + 0(0,1,0)\\
f(0,1,0)=(0,\frac{1}{2},-1) = 0(1,1,0) + \frac{1}{2}(0,1,-2) + 0(0,1,0)
\end{cases}[/tex]
Per cui la matrice risulta essere:
[tex]B=\begin{vmatrix}0,0, 0\\0, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\\0, 0, 0\end{vmatrix}[/tex]
Che è effettivamente la soluzione corretta dell'esercizio.
Comunque grazie per il metodo generale!
Giusto...Servono i "vettori coordinati " (rispetto alla nuova base) messi in colonna. Per quanto riguarda i coefficienti basta scrivere:
\(\displaystyle (x,y,z)=p(1,1,1) + q(2,0,1) + r(1,3,-1) \)
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}p+2q+r=x\\p+3r=y\\p+q-r=z\end{cases} \)
che risolto produce quei valori di \(\displaystyle p,q,r \)
\(\displaystyle (x,y,z)=p(1,1,1) + q(2,0,1) + r(1,3,-1) \)
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}p+2q+r=x\\p+3r=y\\p+q-r=z\end{cases} \)
che risolto produce quei valori di \(\displaystyle p,q,r \)
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