Matrice associata ad applicazione lineare
Ciao vorrei chiedervi una cosa:
se io ho una matrice rappresentativa di una applciazione lineare (chiamiamola A) rispetto a una base B, ora prendo una seconda base B' e scompongo i vettori colonna rispetto alla nuova base. Otterrò delle componenti (gli scalari) rispetto alla nuova base per ogni colonna. Se io ora inserisco tali scalari in una matrice M, mi chiedevo se ottengo una matrice rappresentativa della medesima applicazione lineare iniziale rispetto alla base B' oppure no.
Ma come posso capire se la ottengo o no? non riesco a dimostrarlo o "sdimostrarlo"
Vi è poi una seconda idea: se io prendo di nuovo la matrice rappresentativa di una applicazione lineare, chiamiamola ancora A, le colonne di tale matrice formano la base per l'immagine di tale applicazione.
Prendiamo una seconda base B' per l'immagine di tale applicazione e scomponiamo i vettori colonna della A in questa base B'. I coefficienti che trovo, posti per colonne nella matrice, mi danno questa volta una rappresentazione della stessa applicazone lineare rappresentata da A ma questa volta rappresenata con la base B'?
Grazie
se io ho una matrice rappresentativa di una applciazione lineare (chiamiamola A) rispetto a una base B, ora prendo una seconda base B' e scompongo i vettori colonna rispetto alla nuova base. Otterrò delle componenti (gli scalari) rispetto alla nuova base per ogni colonna. Se io ora inserisco tali scalari in una matrice M, mi chiedevo se ottengo una matrice rappresentativa della medesima applicazione lineare iniziale rispetto alla base B' oppure no.
Ma come posso capire se la ottengo o no? non riesco a dimostrarlo o "sdimostrarlo"
Vi è poi una seconda idea: se io prendo di nuovo la matrice rappresentativa di una applicazione lineare, chiamiamola ancora A, le colonne di tale matrice formano la base per l'immagine di tale applicazione.
Prendiamo una seconda base B' per l'immagine di tale applicazione e scomponiamo i vettori colonna della A in questa base B'. I coefficienti che trovo, posti per colonne nella matrice, mi danno questa volta una rappresentazione della stessa applicazone lineare rappresentata da A ma questa volta rappresenata con la base B'?
Grazie
Risposte
Setting: sia $f: V \to V$ una applicazione lineare e siano $\mathcal(B), \mathcal(B')$ due basi di $V$.
Sia $M = M_\mathcal(B')^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ in partenza e $\mathcal(B')$ in arrivo.
Ricordiamo come si costruisce $M$: sia $\mathcal(B)= {v_1,v_2,...,v_n}$ e sia $\mathcal(B') = {w_1,w_2,...,w_n}$, allora
- la prima colonna di $M$ si ottiene facendo $f(v_1)$ e poi scrivendo le sue coordinate nella base di arrivo $\mathcal(B')$ -> scrivo $[f(v_1)]_\mathcal(B')$
- la prima colonna di $M$ si ottiene facendo $f(v_2)$ e poi scrivendo le sue coordinate nella base di arrivo $\mathcal(B')$ -> scrivo $f[(v_2)]_\mathcal(B')$
così fino all'ultima colonna
Quello che stai facendo tu (o almeno mi pare di capire) è questo:
Io conosco $M_\mathcal(B) = M_\mathcal(B)^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ sia in partenza che in arrivo.
Dunque la prima colonna di questa matrice è data da: faccio $f(v_1)$ e poi scrivo le sue coordinate nella base $\mathcal(B)$: scrivo $[f(v_1)]_\mathcal(B)$ e così via per tutte le colonne.
A questo punto, io prendo la prima colonna e scrivo le sue coordinate nella base $\mathcal(B')$: quello che sto facendo è un cambio di base della base in arrivo: io conosco le coordinate di $f(v_1)$ nella base $\mathcal(B)$ e ora cerco le coordinate di $f(v_1)$ nella base $\mathcal(B)$.
Ripeto: stiamo solo cambiando la base di arrivo: quella di partenza rimane la stessa.
Dunque ciò che stai facendo è scrivere $M_\mathcal(B')^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ in partenza e $\mathcal(B')$ in arrivo.
Per essere formali, detta $P_\mathcal(B')^\mathcal(B)$ la matrice di cambio di base dalla base $\mathcal(B)$ alla base $\mathcal(B') $, tu stai facendo:
Appunto stai cambiando solo la base di arrivo.
Se io volessi ottenere $M_\mathcal(B')^\mathcal(B') (f)$, dovrei cambiare anche la base di partenza, infatti la prima colonna di $M_\mathcal(B')^\mathcal(B') (f)$ è data dalle coordinate $[f(w_1)]_\mathcal(B')$.
Dalle formule di cambio di base, si ha che:
dove $P_\mathcal(B)^\mathcal(B') = (P_\mathcal(B')^\mathcal(B))^(-1)$ è la matrice di cambio di base da $\mathcal(B')$ a $\mathcal(B)$.
Penso in questo modo di averti risposto anche alla seconda domanda che hai fatto
Sia $M = M_\mathcal(B')^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ in partenza e $\mathcal(B')$ in arrivo.
Ricordiamo come si costruisce $M$: sia $\mathcal(B)= {v_1,v_2,...,v_n}$ e sia $\mathcal(B') = {w_1,w_2,...,w_n}$, allora
- la prima colonna di $M$ si ottiene facendo $f(v_1)$ e poi scrivendo le sue coordinate nella base di arrivo $\mathcal(B')$ -> scrivo $[f(v_1)]_\mathcal(B')$
- la prima colonna di $M$ si ottiene facendo $f(v_2)$ e poi scrivendo le sue coordinate nella base di arrivo $\mathcal(B')$ -> scrivo $f[(v_2)]_\mathcal(B')$
così fino all'ultima colonna
Quello che stai facendo tu (o almeno mi pare di capire) è questo:
Io conosco $M_\mathcal(B) = M_\mathcal(B)^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ sia in partenza che in arrivo.
Dunque la prima colonna di questa matrice è data da: faccio $f(v_1)$ e poi scrivo le sue coordinate nella base $\mathcal(B)$: scrivo $[f(v_1)]_\mathcal(B)$ e così via per tutte le colonne.
A questo punto, io prendo la prima colonna e scrivo le sue coordinate nella base $\mathcal(B')$: quello che sto facendo è un cambio di base della base in arrivo: io conosco le coordinate di $f(v_1)$ nella base $\mathcal(B)$ e ora cerco le coordinate di $f(v_1)$ nella base $\mathcal(B)$.
Ripeto: stiamo solo cambiando la base di arrivo: quella di partenza rimane la stessa.
Dunque ciò che stai facendo è scrivere $M_\mathcal(B')^\mathcal(B) (f)$ la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal(B)$ in partenza e $\mathcal(B')$ in arrivo.
Per essere formali, detta $P_\mathcal(B')^\mathcal(B)$ la matrice di cambio di base dalla base $\mathcal(B)$ alla base $\mathcal(B') $, tu stai facendo:
$P_\mathcal(B')^\mathcal(B) \cdot M_\mathcal(B)^\mathcal(B) (f)$
Appunto stai cambiando solo la base di arrivo.
Se io volessi ottenere $M_\mathcal(B')^\mathcal(B') (f)$, dovrei cambiare anche la base di partenza, infatti la prima colonna di $M_\mathcal(B')^\mathcal(B') (f)$ è data dalle coordinate $[f(w_1)]_\mathcal(B')$.
Dalle formule di cambio di base, si ha che:
$M_\mathcal(B')^\mathcal(B') (f) = P_\mathcal(B')^\mathcal(B) \cdot M_\mathcal(B)^\mathcal(B) (f) \cdot P_\mathcal(B)^\mathcal(B') $
dove $P_\mathcal(B)^\mathcal(B') = (P_\mathcal(B')^\mathcal(B))^(-1)$ è la matrice di cambio di base da $\mathcal(B')$ a $\mathcal(B)$.
Penso in questo modo di averti risposto anche alla seconda domanda che hai fatto
Mi accorgo solo ora della risposta e ti ringazio. Spero di poterne ancora discuere con te...
Ci sono alcune cose che vorrei chiarirmi meglio non essendo ancora molto sicuro di aver compreso del tutto.
Come hai detto tu mettiamo di avere $M_B^B$ quando io vado a riscrivere la sua prima colonna in una base $B'$ in sostanza sto riscrivendo il vettore colonna in nella nuova base B' (però io qui sono nello spazio delle componenti!).
Ora tu dici che ponendo questi scalari nella matrice per colonne ottengo: $M_B^B'$
Quello che mi lascia un po' stupito di questo discorso è questo: io sto cambiando base per le componenti del vettore $[f(v_1)]_B$ che è il vettore componenti di $f(v_1)$ scomposto secondo la base B. Quindi ora sono nello spazio $RR^n$ delle compnenti. Io poi svolgo un cambiamento di basi nello spazio delle componenti.
D'altra parte quando io creo invece in modo diretto $M_B^B'$ io faccio $[f(v_1)]_B'$, qui invece sto operando direttamente sul vettore $f(v_1)$ e lo scompongo nella base $B'$ dello spazio i cui vive f(v1), mi sembrano due cose diverse. Ed era questo il mio dubbio iniziale, sicuramente mal esposto, spero ora più chiaro.
Mi sembra quindi che tu consideri $f(v_1) in RR^n$ e quindi usi la stessa base B' sia per f(v1) che per il vettore delle sue compoennti. però io dico $f(v1) in V$ con V iin generale spazio qualsiasi diverso da Rn
Per quanto riguarda invece la seconda domanda (che era distinta dalla prima) quello che mi lascia dubbioso è qusto: mettiamo di aver capito perché facendo quel cambio trovi $M_B^B'$
Ora assumo $B''$ la base dell'immagine della matrice A, quindi l'immagine delle colonne, è evidente che la dimensione di questo (l'immagine) spazio possa essere $<=$ dello spazio codominio (che aveva base B')
Ecco, se io faccio il procedimento di prima di prendere $M_B^B$ e scomporre le sue colonne nella base dell'immagine $B''$ cosa ottengo? Ottengo di nuovo $M_B^B''$ ho dei dubbi sulla dimensionalità del tutto. non so se mi spiego.
mille grazie!
Ci sono alcune cose che vorrei chiarirmi meglio non essendo ancora molto sicuro di aver compreso del tutto.
Come hai detto tu mettiamo di avere $M_B^B$ quando io vado a riscrivere la sua prima colonna in una base $B'$ in sostanza sto riscrivendo il vettore colonna in nella nuova base B' (però io qui sono nello spazio delle componenti!).
Ora tu dici che ponendo questi scalari nella matrice per colonne ottengo: $M_B^B'$
Quello che mi lascia un po' stupito di questo discorso è questo: io sto cambiando base per le componenti del vettore $[f(v_1)]_B$ che è il vettore componenti di $f(v_1)$ scomposto secondo la base B. Quindi ora sono nello spazio $RR^n$ delle compnenti. Io poi svolgo un cambiamento di basi nello spazio delle componenti.
D'altra parte quando io creo invece in modo diretto $M_B^B'$ io faccio $[f(v_1)]_B'$, qui invece sto operando direttamente sul vettore $f(v_1)$ e lo scompongo nella base $B'$ dello spazio i cui vive f(v1), mi sembrano due cose diverse. Ed era questo il mio dubbio iniziale, sicuramente mal esposto, spero ora più chiaro.
Mi sembra quindi che tu consideri $f(v_1) in RR^n$ e quindi usi la stessa base B' sia per f(v1) che per il vettore delle sue compoennti. però io dico $f(v1) in V$ con V iin generale spazio qualsiasi diverso da Rn
Per quanto riguarda invece la seconda domanda (che era distinta dalla prima) quello che mi lascia dubbioso è qusto: mettiamo di aver capito perché facendo quel cambio trovi $M_B^B'$
Ora assumo $B''$ la base dell'immagine della matrice A, quindi l'immagine delle colonne, è evidente che la dimensione di questo (l'immagine) spazio possa essere $<=$ dello spazio codominio (che aveva base B')
Ecco, se io faccio il procedimento di prima di prendere $M_B^B$ e scomporre le sue colonne nella base dell'immagine $B''$ cosa ottengo? Ottengo di nuovo $M_B^B''$ ho dei dubbi sulla dimensionalità del tutto. non so se mi spiego.
mille grazie!
Guarda, onestamente non ho capito il tuo dubbio... ti consiglierei a questo punto magari di chiedere direttamente un ricevimento con il professore
Ricorda inoltre che ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ è isomorfo a $\RR^n$, una volta fissata una base (anche perché altrimenti non avrebbe mai senso parlare di coordinate)
Ricorda inoltre che ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ è isomorfo a $\RR^n$, una volta fissata una base (anche perché altrimenti non avrebbe mai senso parlare di coordinate)
Però dato che hai capito la domanda iniziale mi piacerebbe ormai discuterne qui, magari ci arrivo senza intervento del Prof. Anche perché sono tornato a casa a 400km di distanza...
Inoltre, la strada che hai tracciato mi ha permesso di capire molte cose.
Ma io sto solo chiedendo una cosa semplice. tu consideri un endomorfismo f:V->V
poi dici che scrivi la matrice usando la base B di V, e sono d'accordo, quello che dico io è semplicmente che quando prendi la colonna 1 d $A=M_B^B$ e la scrivi rispetto alla base B' tu stai prendendo una base B' di $RR^n$, mentre quando hai scomposto $f[(v1)]_B$ stai usando una base B di V.
Lavori in due spazi diversi in genere: uno è V l'altro lo spazio delle coordinate Rn.
Quindi quando scomponi $f[(v1)]_B'$ stai usando la base $B'$ di V, quando prendi la colonna di $A$ e la scrivi nella base B' usi la base di $RR^n$. Tutto lì!
ovvio che se usi $V=RR^n$ non ci sarebbero problemi perché la base B e B' di V e poi delle colonne di A è la medesima base. Cioè B e B' sono basi sia di V che dello spazio delle coordinate. E tutto viene banalmente vero.
nel primo dubbio stavo dicendo solo questo.
per il secondo invece cosa non è chiaro?
Inoltre, la strada che hai tracciato mi ha permesso di capire molte cose.
Ma io sto solo chiedendo una cosa semplice. tu consideri un endomorfismo f:V->V
poi dici che scrivi la matrice usando la base B di V, e sono d'accordo, quello che dico io è semplicmente che quando prendi la colonna 1 d $A=M_B^B$ e la scrivi rispetto alla base B' tu stai prendendo una base B' di $RR^n$, mentre quando hai scomposto $f[(v1)]_B$ stai usando una base B di V.
Lavori in due spazi diversi in genere: uno è V l'altro lo spazio delle coordinate Rn.
Quindi quando scomponi $f[(v1)]_B'$ stai usando la base $B'$ di V, quando prendi la colonna di $A$ e la scrivi nella base B' usi la base di $RR^n$. Tutto lì!
ovvio che se usi $V=RR^n$ non ci sarebbero problemi perché la base B e B' di V e poi delle colonne di A è la medesima base. Cioè B e B' sono basi sia di V che dello spazio delle coordinate. E tutto viene banalmente vero.
nel primo dubbio stavo dicendo solo questo.
per il secondo invece cosa non è chiaro?
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