Matrice associata ad applicazione lineare
Salve a tutti! La prossima settimana ho l'esame di algebra e stavo facendo qualche esercizio per la preparazione. Mi sono bloccato con uno che mi ha spiazzato:
L’applicazione lineare $T : R^2 → R^2$ soddisfa
$T=|(2),(3)|=|(8),(5)| , T=|(3),(2)|=|(7),(5)|$
Scrivere la matrice associata a T utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo.
Finora ho affrontato esercizi del genere in cui erano presenti incognite e coefficienti, in questo caso con soli numeri mi sento un po' spiazzato.
Ho iniziato con lo scrivere la base canonica
$B={(1,0) , (0,1)}$
Mi verrebbe solo da dire che la matrice associata alla prima applicazione è $A=|(8),(5)|$
[xdom="Martino"]Spostato in Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
L’applicazione lineare $T : R^2 → R^2$ soddisfa
$T=|(2),(3)|=|(8),(5)| , T=|(3),(2)|=|(7),(5)|$
Scrivere la matrice associata a T utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo.
Finora ho affrontato esercizi del genere in cui erano presenti incognite e coefficienti, in questo caso con soli numeri mi sento un po' spiazzato.
Ho iniziato con lo scrivere la base canonica
$B={(1,0) , (0,1)}$
Mi verrebbe solo da dire che la matrice associata alla prima applicazione è $A=|(8),(5)|$
[xdom="Martino"]Spostato in Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
Risposte
Provo ad indovinare...volevi scrivere che l’applicazione lineare $T : R^2 → R^2$ soddisfa:
$T*((2),(3))=((8),(5))$
$T*((3),(2))=((7),(5))$
Perchè quello che hai scritto non è dotato di senso.
$T*((2),(3))=((8),(5))$
$T*((3),(2))=((7),(5))$
Perchè quello che hai scritto non è dotato di senso.
Si, dai calcoli doveva essere proprio così. Quindi $ T=( ( 1 , 2 ),( 1 , 1 ) ) $
"Bokonon":
Perchè quello che hai scritto non è dotato di senso.
Se ti riferisci al testo dell'esercizio, ho riportato fedelmente come è scritto (anche l'incolonnamento) proprio per chiarezza.
"Bokonon":
Si, dai calcoli doveva essere proprio così. Quindi $ T=( ( 1 , 2 ),( 1 , 1 ) ) $
Ok, grazie mille. Facendo i calcoli al contrario ho potuto testare che è così, ma come sei arrivato a questo risultato?
"Haring":
Se ti riferisci al testo dell'esercizio, ho riportato fedelmente come è scritto (anche l'incolonnamento) proprio per chiarezza.
Credimi, indipendentemente dai simboli notazionali che uno possa usare il significato di = resta sempre lo stesso in qualsiasi algebra...e quella roba non ha senso.
"Haring":
Ok, grazie mille. Facendo i calcoli al contrario ho potuto testare che è così, ma come sei arrivato a questo risultato?
Semplice, T è una matrice 2x2, quindi scrivi:
$ ( ( a , b ),( c , d ) )* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $
e ricavi due sistemi in due incognite.
Il resto è facilissimo, la matrice X associata a T sarà $ X=T*( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ) )*T^-1 $
E scoprirai che effettivamente $X*T=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) )$
E scoprirai che effettivamente $X*T=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) )$
Grazie mille per la spiegazione 
Svolgendolo però mi sfugge qualcosa nei calcoli. Ho quindi:
$T=((1,0),(0,1))$
$T^-1=((1,0),(0,-1))$
$X$ a questo punto mi torna
$X=((2,-3),(3,-2))$
e non $X=((1,2),(1,1))$
Svolgendolo però mi sfugge qualcosa nei calcoli. Ho quindi:
$T=((1,0),(0,1))$
$T^-1=((1,0),(0,-1))$
$X$ a questo punto mi torna
$X=((2,-3),(3,-2))$
e non $X=((1,2),(1,1))$
"Haring":
Svolgendolo però mi sfugge qualcosa nei calcoli. Ho quindi:
$T=((1,0),(0,1))$
$T^-1=((1,0),(0,-1))$
Rifai i conti
$T=((1,2),(1,1))$
$T^-1=((-1,2),(1,-1))$
X non è la trasformazione, T è la trasformazione
Ok ho rifatto i conti
$X=((-1,9),(0,5))$
ed infatti con $T=((1,2),(1,1))$ e $T^-1=((-1,2),(1,-1))$ tutto torna.
Ma mi resta comunque il dubbio di come trovare la matrice associata avendo di fronte quei dati del problema. In questo caso mi hai detto tu che $T=((1,2),(1,1))$ è la trasformazione, da cui poi riesco a ricavare $X$
$X=((-1,9),(0,5))$
ed infatti con $T=((1,2),(1,1))$ e $T^-1=((-1,2),(1,-1))$ tutto torna.
Ma mi resta comunque il dubbio di come trovare la matrice associata avendo di fronte quei dati del problema. In questo caso mi hai detto tu che $T=((1,2),(1,1))$ è la trasformazione, da cui poi riesco a ricavare $X$
"Haring":
Ok ho rifatto i conti
$X=((-1,9),(0,5))$
ed infatti con $T=((1,2),(1,1))$ e $T^-1=((-1,2),(1,-1))$ tutto torna.
Ma mi resta comunque il dubbio di come trovare la matrice associata avendo di fronte quei dati del problema. In questo caso mi hai detto tu che $T=((1,2),(1,1))$ è la trasformazione, da cui poi riesco a ricavare $X$
Ma se ti ho scritto come ricavarla facilmente?
"Bokonon":
Semplice, T è una matrice 2x2, quindi scrivi:
$ ( ( a , b ),( c , d ) )* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $
e ricavi due sistemi in due incognite.
"Bokonon":[/quote]
[quote="Bokonon"]
Semplice, T è una matrice 2x2, quindi scrivi:
$ ( ( a , b ),( c , d ) )* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $
e ricavi due sistemi in due incognite.
Ok grazie!! Mi era sfuggito questo particolare.
Ora torna tutto quanto
Un'ultima domanda: se invece fosse stato $T = R^3 ->R^2$
con $T=((2),(3),(1))=((8),(5))$ e $T=((3),(2),(1))=((7),(5))$
avrei comunque potuto scrivere
$ ( ( a , b ),( c , d ),(e , f ))* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ),(1 , 1) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $ ?
e quali sarebbero stati i sistemi e i termini noti?
Per prima cosa, il sistema sarebbe stato questo:
$ ( ( a , b , c) ,(d ,e , f ))* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ),(1 , 1) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $ ?
Secondo, prova a ricavare il vettore (2,3,1) dal vettore (8,5).
E' possibile? Perchè no?
$ ( ( a , b , c) ,(d ,e , f ))* ( ( 2 , 3 ),( 3 , 2 ),(1 , 1) )=( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $ ?
Secondo, prova a ricavare il vettore (2,3,1) dal vettore (8,5).
E' possibile? Perchè no?
Si mi ero confuso nello scrivere la matrice delle incognite.
In effetti poi il prodotto verrebbe una matrice 2x2 e quindi può essere messa a sistema con $(( 8 , 7),( 5 , 5 ))$
Grazie mille
In effetti poi il prodotto verrebbe una matrice 2x2 e quindi può essere messa a sistema con $(( 8 , 7),( 5 , 5 ))$
Grazie mille
"Haring":
Si mi ero confuso nello scrivere la matrice delle incognite.
In effetti poi il prodotto verrebbe una matrice 2x2 e quindi può essere messa a sistema con $(( 8 , 7),( 5 , 5 ))$
Grazie mille
Prego ma ti sei fermato troppo presto nel ragionamento.
Volevo farti notare che non ha senso di parlare di matrice associata in questo caso, visto che (a rigore) non puoi invertirla.
Non potrai mai riottenere (3,2,1) da (7,5) perchè perdi l'informazione riguardo la compnente z di (3,2,1).
Otterrai sempre (3,2,0).
Seconda questione...è possibile trovare un'unica matrice $A= ( ( a , b , c) ,(d ,e , f ))$ usando il metodo di prima?
La risposta è no: ovviamente ne esistono un'infinità.
La prima cosa da notare è che l'immagine nel nostro problema $( ( 8 , 7 ),( 5 , 5 ) ) $ produce due vettori indipendenti, ergo la trasformazione crea tutto $R^2$, ergo la matrice A ha rango due (il massimo rango che poteva avere).
Ergo una delle colonne è linearmente dipendente dalle altre due, ergo puoi riscriverla cosi:
$A= ( ( a , b , lambda_1a+lambda_2b) ,(d ,e , lambda_1d+lambda_2e ))$
Un utile esercizio è scoprire per quali valori di $lambda_1$ e $lambda_1$ il sistema non ha soluzione. E poi magari anche provare a creare una delle possibili A, come questa:
$A= ( ( 2/3 , 5/3 , 5/3) ,(5/6 ,5/6 , 5/6 ))$
Ti poni domande (e questo va bene) ma poi non cerchi risposte (e questo è male).
Da questo unico esercizio puoi capire più che risolvendone 2000 meccanicamente.
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