Matrice associata ad applicazione lineare
Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi una delucidazione riguardante il metodo generale da utilizzare per scrivere la matrice associata ad un'applicazione lineare. Non riesco proprio a capire come procedere!!
In particolare sto svolgendo il seguente esercizio e non so come procedere:
Si consideri l’applicazione lineare [tex]f:R^4 →S(R^{2,2})[/tex] così definita:
[tex]f((0,0,1,−1))=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right][/tex]
[tex]f((0,−1,1,0))=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right][/tex]
[tex]f((1,0,0,1))=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right][/tex]
[tex]f((2,1,0,0)) =\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right][/tex]
Scrivere la matrice associata ad f rispetto a basi da indicarsi esplicitamente.
Potreste per favore indicarmi come procedere?
Grazie mille a tutti
!!!
In particolare sto svolgendo il seguente esercizio e non so come procedere:
Si consideri l’applicazione lineare [tex]f:R^4 →S(R^{2,2})[/tex] così definita:
[tex]f((0,0,1,−1))=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right][/tex]
[tex]f((0,−1,1,0))=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right][/tex]
[tex]f((1,0,0,1))=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right][/tex]
[tex]f((2,1,0,0)) =\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right][/tex]
Scrivere la matrice associata ad f rispetto a basi da indicarsi esplicitamente.
Potreste per favore indicarmi come procedere?
Grazie mille a tutti
!!!
Risposte
Ciao, in generale si cerca di scrivere la matrice associata alle basi canoniche dello spazio. Per far questo si sfrutta la linearità dell'applicazione, ovvero il fatto che $$f(\alpha v_1 + \beta v_2) = \alpha f(v_1) + \beta f(v_2)$$ Nel nostro caso, se prendi la prima condizione puoi scrivere $$f(e_3) - f(e_4) = \begin{bmatrix}0&1\\1&2\end{bmatrix}$$ Facendo lo stesso per le altre tre relazioni puoi scrivere un sistema nel quale le incognite sono $f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4)$ e trovare così le immagini dei vettori della base canonica.
Innanzitutto $S(bbbR^{2,2})$ sarebbe l'insieme delle matrici reali simmetriche di ordine $2$?
La definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare non è nulla di difficile, basta accordarsi sulla notazione. Io uso quella "standard" (come testo faccio riferimento al Sernesi, mentre su altri - tipo l'Abate, se non sbaglio - le convenzioni sono altre).
Siano $V,W$ spazi vettoriali, $bbE={e_1,...,e_N}$ e $bbF={f_1,..,f_M}$ basi di $V$ e $W$ rispettivamente, $L:V to W$ lineare.
La matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ (di partenza) e $bbF$ (di arrivo) è la matrice $M xx N$ costruita nel modo seguente:
la j-esima colonna è data dalle coordinate dell'immagine del j-esimo vettore della base di partenza rispetto alla base di arrivo, in simboli $text{coord}_bbF(L(e_j))$
Tornando all'esercizio, ti vengono date le immagini di 4 vettori di $bbbR^4$ che, puoi verificare, costituiscono una sua base, chiamiamola $bbE={e_1,...,e_N}$. In pratica conosci $f(e_1),...,f(e_N)$.
Ora scegli una base a tuo piacere $bbF={f_1,..,f_M}$ del codominio. Devi calcolare le coordinate rispetto a questa base dei vettori $f(e_1),...,f(e_N)$ (sai farlo?).
Supponiamo che le coordinate di $f(e_j)$ rispetto alla base $bbF$ siano $(c_j^1,...,c_j^M)$
La matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ e $bbF$ sarà[nota]si usa questa notazione: la matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ e $bbF$ viene indicata con $M_{bbF,bbE}(L)$ (a pedice prima la base di arrivo, poi la base di partenza)). L'utilità di questa notazione risulta evidente quando si tratta la composizione di applicazioni lineari[/nota]
$M_{bbF,bbE}(L)=((c_1^1,c_2^1,...,c_N^1),(c_1^2,c_2^2,...,c_N^2),(...,...,...,...),(c_1^M,c_2^M,...,c_N^M))$
La definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare non è nulla di difficile, basta accordarsi sulla notazione. Io uso quella "standard" (come testo faccio riferimento al Sernesi, mentre su altri - tipo l'Abate, se non sbaglio - le convenzioni sono altre).
Siano $V,W$ spazi vettoriali, $bbE={e_1,...,e_N}$ e $bbF={f_1,..,f_M}$ basi di $V$ e $W$ rispettivamente, $L:V to W$ lineare.
La matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ (di partenza) e $bbF$ (di arrivo) è la matrice $M xx N$ costruita nel modo seguente:
la j-esima colonna è data dalle coordinate dell'immagine del j-esimo vettore della base di partenza rispetto alla base di arrivo, in simboli $text{coord}_bbF(L(e_j))$
Tornando all'esercizio, ti vengono date le immagini di 4 vettori di $bbbR^4$ che, puoi verificare, costituiscono una sua base, chiamiamola $bbE={e_1,...,e_N}$. In pratica conosci $f(e_1),...,f(e_N)$.
Ora scegli una base a tuo piacere $bbF={f_1,..,f_M}$ del codominio. Devi calcolare le coordinate rispetto a questa base dei vettori $f(e_1),...,f(e_N)$ (sai farlo?).
Supponiamo che le coordinate di $f(e_j)$ rispetto alla base $bbF$ siano $(c_j^1,...,c_j^M)$
La matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ e $bbF$ sarà[nota]si usa questa notazione: la matrice associata a $L$ rispetto alle basi $bbE$ e $bbF$ viene indicata con $M_{bbF,bbE}(L)$ (a pedice prima la base di arrivo, poi la base di partenza)). L'utilità di questa notazione risulta evidente quando si tratta la composizione di applicazioni lineari[/nota]
$M_{bbF,bbE}(L)=((c_1^1,c_2^1,...,c_N^1),(c_1^2,c_2^2,...,c_N^2),(...,...,...,...),(c_1^M,c_2^M,...,c_N^M))$
Grazie mille a tutti per il vostro aiuto, ho capito come procedere 
!!
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