Matrice associata ad appl. lineare con polinomi

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti, ho un problema con questo quesito:
si considerano le appl. lineari $f$:$RR^{2,2}$$\to$ $RR_2$[x], così definita:


f $(((a,b),(c,d)))$ = $a-d+(a+b)x+(c+d)x^2$

e $g$:$RR_2$[x] $\to$ $RR^{2,2}$ così definita:

$g(a+bx+cx^2)$=$((c-a,b),(b,a+b))$

adesso detta $\epsilon$ =$(1,x,x^2)$, base di $RR_2$[x] ed $\zeta$ la base standard di $RR^{2,2}$ , determinare $M^{\zeta,\epsilon}$(f) ed $M^{\zeta,\epsilon}$(g).

vorrei solamente capire come posso trovarmi queste due matrici tramite le basi assegnate. grazie!

[franced]

"TommyR22":salve a tutti, ho un problema con questo quesito:
si considerano le appl. lineari $f$:$RR^{2,2}$$\to$ $RR_2$[x], così definita:


f $(((a,b),(c,d)))$ = $a-d+(a+b)x+(c+d)x^2$

e $g$:$RR_2$[x] $\to$ $RR^{2,2}$ così definita:

$g(a+bx+cx^2)$=$((c-a,b),(b,a+b))$

adesso detta $\epsilon$ =$(1,x,x^2)$, base di $RR_2$[x] ed $\zeta$ la base standard di $RR^{2,2}$ , determinare $M^{\zeta,\epsilon}$(f) ed $M^{\zeta,\epsilon}$(g).

vorrei solamente capire come posso trovarmi queste due matrici tramite le basi assegnate. grazie!

Vediamo l'applicazione $f$:

calcola le immagini della base canonica di $RR^{2,2}$

$f( ((1,0),(0,0)) ) = 1 + x$

quindi la prima colonna della matrice $M$ è $((1),(1),(0))$ ;

per le altre colonne devi fare la stessa cosa..

[tommyr22-votailprof]

quindi la matrice associata ad f sarebbe questa se non sbaglio:

$((1,0,0,-1),(1,1,0,0),(0,0,1,1))$

giusto?

[franced]

"TommyR22":quindi la matrice associata ad f sarebbe questa se non sbaglio:

$((1,0,0,-1),(1,1,0,0),(0,0,1,1))$

giusto?

Sì, perfetto!

[tommyr22-votailprof]

ok grazie.
ma invece per quanto riguarda $g$ ?

[franced]

"TommyR22":ok grazie.
ma invece per quanto riguarda $g$ ?

Guarda come agisce sulla base canonica dei polinomi:

$g(1) = ...$

$g(x) = ...$

$g(x^2) = ...$

Hai capito?

[tommyr22-votailprof]

(scusa se riprendo ora l'esercizio) cmq così è giusto?

$g(1)=(-1,0,0,1)$
$g(x)=(0,1,1,1)$
$g(x^2)=(1,0,0,0)$

[franced]

"TommyR22":
$g$:$RR_2$[x] $\to$ $RR^{2,2}$ così definita:

$g(a+bx+cx^2)$=$((c-a,b),(b,a+b))$

Le immagini della base canonica dei polinomi di $RR_2[x]$ sono le seguenti:

$g(1) = ((-1,0),(0,1))$

$g(x) = ((0,1),(1,1))$

$g(x^2) = ((1,0),(0,0))$ .

La matrice associata a questa applicazione rispetto alle basi canoniche di $RR_2[x]$ e $RR^{2,2}$ è:

$((-1,0,1),(0,1,0),(0,1,0),(1,1,0))$