Matrice associata a uno spazio vettoriale.
Buongiorno a tutti, sono un neo iscritto. Mi chiamo Marco e frequento il primo anno di Matematica. Ultimamente sto avendo problemi con algebra lineare. Posto qui uno dei tanti problemi a cui non riesco a trovare soluzione. Spero di capire con il vostro aiuto il giusto ragionamento per eseguirlo.
Sia A: $RR^3$ --> $RR^3$
l'applicazione che permuta i vettori
$v_1$ = $[[1] , [0] , [1]]$
$v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$
$v_3$ = $[[-1] , [1] , [2]]$
in
A($v_1$)=$v_2$
A($v_2$)=$v_3$
A($v_3$)=$v_1$
i)Calcolare la matrice di A rispetto alla base v1,v2,v3.
Soluzione:
A = $[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]$
Il mio ragionamento è stato. Inserendo le coordinate dei vettori della base nella matrice, ottengo le coordinate di quei vettori nell'imagine. Esse saranno poi combinazione lineare dei vettori della base del codominio. MI spiego meglio
A($v_1$) = $v_2$ = a$v_1$ + b$v_2$ + c$v_3$
(a , b , c) sarà la prima colonna della matrice associata.
Es.
A($v_3$) = $v_1$ = $[[1] , [0] , [1]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
a=6
b=1
c= -1
Continuo così fino a trovare le coordinate di A($v_2$)=$v_3$ e A($v_3$)=$v_1$. Però ottengo una matrice diversa.
Capisco che la matrice della soluzione sia ottenuta con il mio stesso ragionamento, mettendo però coordinata 1 al vettore della base che coincide con il vettore dell'immagine. Es:
A($v_1$) = $v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
a = c = 0, mentre b = 1 perchè i due vettori coincidono. E così via...
Quindi le soluzioni sono giuste entrambe? Non credo ma potreste dirmi cosa sbaglio?
Grazie
Marco
Sia A: $RR^3$ --> $RR^3$
l'applicazione che permuta i vettori
$v_1$ = $[[1] , [0] , [1]]$
$v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$
$v_3$ = $[[-1] , [1] , [2]]$
in
A($v_1$)=$v_2$
A($v_2$)=$v_3$
A($v_3$)=$v_1$
i)Calcolare la matrice di A rispetto alla base v1,v2,v3.
Soluzione:
A = $[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]$
Il mio ragionamento è stato. Inserendo le coordinate dei vettori della base nella matrice, ottengo le coordinate di quei vettori nell'imagine. Esse saranno poi combinazione lineare dei vettori della base del codominio. MI spiego meglio
A($v_1$) = $v_2$ = a$v_1$ + b$v_2$ + c$v_3$
(a , b , c) sarà la prima colonna della matrice associata.
Es.
A($v_3$) = $v_1$ = $[[1] , [0] , [1]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
a=6
b=1
c= -1
Continuo così fino a trovare le coordinate di A($v_2$)=$v_3$ e A($v_3$)=$v_1$. Però ottengo una matrice diversa.
Capisco che la matrice della soluzione sia ottenuta con il mio stesso ragionamento, mettendo però coordinata 1 al vettore della base che coincide con il vettore dell'immagine. Es:
A($v_1$) = $v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
a = c = 0, mentre b = 1 perchè i due vettori coincidono. E così via...
Quindi le soluzioni sono giuste entrambe? Non credo ma potreste dirmi cosa sbaglio?
Grazie
Marco
Risposte
ciao marco e benvenuto nel forum
ti consiglio di dare una lettura qui (cliccami) è una guida su come le formule matematiche su questo sito, per una più facile lettura..
così come hai scritto si capisce poco.. è meglio se leggi la guida e poi Modifichi quello che hai scritto..
non temere..la prima volta è così per tutti..
ti consiglio di dare una lettura qui (cliccami) è una guida su come le formule matematiche su questo sito, per una più facile lettura..
così come hai scritto si capisce poco.. è meglio se leggi la guida e poi Modifichi quello che hai scritto..
non temere..la prima volta è così per tutti..
"21zuclo":
ciao marco e benvenuto nel forum
ti consiglio di dare una lettura qui (cliccami) è una guida su come le formule matematiche su questo sito, per una più facile lettura..
così come hai scritto si capisce poco.. è meglio se leggi la guida e poi Modifichi quello che hai scritto..
non temere..la prima volta è così per tutti..
ok
grazie.
ciao marcoberani91, la soluzione del tuo esercizio è rapidissima.
La teoria infatti afferma che la matrice di una applicazione lineare ha le colonne formate dalle coordinate delle immagini dei vettori della base del dominio , riformulate nella base del codominio.
In questo caso le due basi [ v1,v2,v3] sono uguali: è un isomorfismo.
Calcoliamo la prima colonna della matrice:
- l'immagine di v1 è v2 : [A(v1)= v2];
- le coordinate di v2 espresse nella base (v1,v2,v3) sono ovviamente: (0,1,0).
Questa è appunto la prima colonna della matrice cercata.
Nello stesso modo ricavi le altre due colonne:
-- A(v2) = v3(0,0,1): seconda colonna.
-- A(v3) = v1(1,0,0): terza colonna.
La teoria infatti afferma che la matrice di una applicazione lineare ha le colonne formate dalle coordinate delle immagini dei vettori della base del dominio , riformulate nella base del codominio.
In questo caso le due basi [ v1,v2,v3] sono uguali: è un isomorfismo.
Calcoliamo la prima colonna della matrice:
- l'immagine di v1 è v2 : [A(v1)= v2];
- le coordinate di v2 espresse nella base (v1,v2,v3) sono ovviamente: (0,1,0).
Questa è appunto la prima colonna della matrice cercata.
Nello stesso modo ricavi le altre due colonne:
-- A(v2) = v3(0,0,1): seconda colonna.
-- A(v3) = v1(1,0,0): terza colonna.
"giovirota":
ciao marcoberani91, la soluzione del tuo esercizio è rapidissima.
La teoria infatti afferma che la matrice di una applicazione lineare ha le colonne formate dalle coordinate delle immagini dei vettori della base del dominio , riformulate nella base del codominio.
In questo caso le due basi [ v1,v2,v3] sono uguali: è un isomorfismo.
Calcoliamo la prima colonna della matrice:
- l'immagine di v1 è v2 : [A(v1)= v2];
- le coordinate di v2 espresse nella base (v1,v2,v3) sono ovviamente: (0,1,0).
Questa è appunto la prima colonna della matrice cercata.
Nello stesso modo ricavi le altre due colonne:
-- A(v2) = v3(0,0,1): seconda colonna.
-- A(v3) = v1(1,0,0): terza colonna.
Ciao, grazie mille per la risposta.
Mi ritrovo con "la matrice di una applicazione lineare ha le colonne formate dalle coordinate delle immagini dei vettori della base del dominio , riformulate nella base del codominio", ma non capisco una cosa. Se la base del codominio non fosse stata uguale a quella del dominio cosa sarebbe successo? Cioè se invece di B=($v_1$, $v_2$, $v_3$), fosse stato ($v_5$, $v_6$,$v_7$), con
$v_5$ = $[[1] , [0] , [5]]$
$v_6$ = $[[0] , [3] , [1]]$
$v_7$ = $[[4] , [0] , [0]]$
avrei fatto un sistema così composto.
A($v_1$) = $v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$ = x $[[1] , [0] , [5]]$ + y $[[0] , [3] , [1]]$ + z $[[4] , [0] , [0]]$
A($v_1$) = $v_2$ =$\{ (0 = x + 4z),( 1 = 3y ),( -2 = 5x + y):}$
dove trovando x, y, z trovavo le coordinate del vettore $v_1$ della base del dominio, in funzione delle coordinate della base del codominio. Ripetevo per gli altri due vettori, e i risultati ottenuti erano le colonne della matrice associata all'applicazione rispetto a queste due basi.
Utilizzando lo stesso procedimento con l'esercizio da me proposto, risolvevo un sistema analogo:
A($v_1$) = $v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
A($v_1$) = $v_2$ =$\{ (0 = a - c),( 1 = b + c ),( -2 = a -2b +2c):}$
non ottengo
a=0
b=1
c=0
ma bensì
a= 2/5
b=-2/5
c= 2/5
Quindi qual'è la differenza? Non capisco. Capisco come ottiene 1,0,0. Ma non sarebbe stato giusto anche risolvere il sistema da me scritto ( quello A($v_3$) = $v_1$ ) e trovare le coordinate?
Se la base del codominio è diversa rispetto a quella del dominio, le immagini dei vettori della prima base vanno appunto
formulate rispetto alla base del codominio: quanto tu dici é esatto.
Quanto alla seconda tua obiezione, fa attenzione, perché i calcoli che fai nell'esempio dell'esercizio sono errati:
per (a b c) trovi i valori (6 1 -1) , mentre il risultato esatto è (1 0 0).
formulate rispetto alla base del codominio: quanto tu dici é esatto.
Quanto alla seconda tua obiezione, fa attenzione, perché i calcoli che fai nell'esempio dell'esercizio sono errati:
per (a b c) trovi i valori (6 1 -1) , mentre il risultato esatto è (1 0 0).
"giovirota":
Se la base del codominio è diversa rispetto a quella del dominio, le immagini dei vettori della prima base vanno appunto
formulate rispetto alla base del codominio: quanto tu dici é esatto.
Quanto alla seconda tua obiezione, fa attenzione, perché i calcoli che fai nell'esempio dell'esercizio sono errati:
per (a b c) trovi i valori (6 1 -1) , mentre il risultato esatto è (1 0 0).
Grazie mille ancora per il tuo aiuto. Però facendo
A($v_1$) = $v_2$ = $[[0] , [1] , [-2]]$ = a $[[1] , [0] , [1]]$ + b $[[0] , [1] , [-2]]$ + c $[[-1] , [1] , [2]]$
A($v_1$) = $v_2$ =$\{ (0 = a - c),( 1 = b + c ),( -2 = a -2b +2c):}$
non ottengo
a=0
b=1
c=0
ma bensì
a= 2/5
b=-2/5
c= 2/5
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo