Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base

[16chicca90]

ho il seguente prodotto scalare :

=($v_1$ $w_2$) +($v_2$ $w_1$)-($v_2$ $w_3$)-($v_3$ $w_2$)+7($v_2$ $w_4$)+7($v_4$ $w_2$)+2($v_3$ $w_4$)+2($v_4$ $w_3$)

ho dimostrato che è un prodotto scalare

il problema è

come faccio a scrivere la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica???

[elvis3]

Se hai un prodotto scalare [tex]$P \colon V \times V \to K$[/tex], definito sullo spazio [tex]$V$[/tex] e una base di questo [tex]$B = (b_1,\ldots,b_n)$[/tex], la matrice associata a [tex]$P$[/tex] rispetto a [tex]$B$[/tex] e' la matrice simmetrica [tex]$M$[/tex], di componenti [tex]$M_{ij} = P(b_i,b_j)$[/tex].
Viceversa se hai una matrice simmetrica [tex]$S$[/tex], l'applicazione [tex]$P_S \colon V \times V \to K[/tex]$, [tex]$(u,v) \mapsto {}^tXSY$[/tex] (dove [tex]$X$[/tex] e [tex]$Y$[/tex] sono le coordinate di [tex]$u$[/tex] e [tex]$v$[/tex] rispetto alla base) e' un prodotto scalare.

[16chicca90]

se scelgo la base canonica r4

la mia matrice associata sarà

$((0,1,0,0),(1,0,-1,7),(0,-1,0,2),(0,7,2,0))$

è corretto???

[cirasa]

La matrice associata è giusta.

[16chicca90]

grazie mille

[16chicca90]

rimanendo sempre su questo argomento ora mi si è complicata un pò il prodotto scalare
$<,>$ è definita in $RR_2[t] \times RR_2[t]$
$ =2p(0)q(0)+p''(2)q(1)+p(1)q''(2)-p'(-1)q'(-1)$

ho dimostrato che è un prodotto scalare in $RR_2[t]$

ma ora mi chiede la matrice associata rispetto a una base a mia scelta ho pensato a $b=(1,t, t^2)$
chiedo a voi:
la base può essere corretta?
e come faccio adesso a scrivere la matrice associata?

[cirasa]

Chiamo con
$p_1(t)=1$, $p_2(t)=t$, $p_3(t)=t^2$.
La base è corretta, ne bastava scegliere una. Tu hai scelto la più naturale.

Come da definizione l'elemento di posto $(i,j)$ della tua matrice è $$.

Per esempio: l'elemento di posto $(1,1)$ della matrice è $ = <1,1 > = 2$.
L'elemento di posto $(3,2)$ della matrice è $$.

Calcoli tutti i possibili prodotti e concludi.

[mod="cirasa"]Ho sistemato le formule del tuo messaggio.
La prossima volta racchiudi tutta la formula fra \$ e non solo una parte.[/mod]

[16chicca90]

grazie mille quindi avrò la seguente matrice





$((2,t,t^2),(t,t^2,t^3),(t^2,t^3,t^4))$





è corretta??

[cirasa]

Puoi modificare la tua formula?
Ti ho già detto di racchiuderla interamente fra i simboli \$.
Altrimenti la matrice non si legge.

[16chicca90]

"cirasa":Puoi modificare la tua formula?
Ti ho già detto di racchiuderla interamente fra i simboli \$.
Altrimenti la matrice non si legge.

adesso penso di non farmi richiamare più su come si scrivono le formule mi sono fatta una cultura.......penso che adesso la mia matrice sia più leggibile

aspetto la conferma da voi

[cirasa]

Grazie per aver scritto nella maniera corretta la formula.
Purtroppo la tua matrice è errata nella sostanza

Per calcolare il prodotto scalare fra due qualsiasi vettori della base $1,t,t^2$, devi usare la definizione che hai dato

"DAIANA":$<,>$ è definita in $RR_2[t] \times RR_2[t]$

$ =2p(0)q(0)+p''(2)q(1)+p(1)q''(2)-p'(-1)q'(-1)$

sostituendo a $p$ e $q$ i corrispondenti vettori.
Osserva che, per esempio, $p(0)$ è il valore del polinomio $p$ in $0$, $p'(-1)$ è il valore della derivata prima di $p$ in $-1$ e così via.
Se voglio calcolare $$ devo fare la sostituzioni adatte:
$p(t)=t$, $q(t)=t^2$
Da cui
$p'(t)=1$, $p''(t)=0$
$q'(t)=2t$, $q''(t)=2$
Perciò:
$p(0)=0$, $p(1)=1$, $p'(-1)=1$, $p''(2)=0$,
$q(0)=0$, $q(1)=1$, $q'(-1)=-2$, $q''(2)=2$,
Perciò (se non ho sbagliato i conti, controlla!)
$ =2\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 2-1\cdot(-2)=4$.
Quindi l'elemento di posto $(2,3)$ della tua matrice è $4$.

Spero che sia chiaro come devi proseguire, calcolando tutti gli elementi della tua matrice.

[francy661]

qualcuno mi potrebbe spiegare come vengono fori gli elementi della matrice?


=2p(0)q(0)+p′′(2)q(1)+p(1)q′′(2)−p′(−1)q′(−1)

<1,1> =
<1,t> =
<1,t^2> =
che calcoli bisogna fare?