Matrice Associata a un applicazione lineare
Il mio dubbio riguarda le matrici associate alle applicazioni lineari quando le basi di partenza e arrivo sono entrambe diverse da quelle canoniche
Ad esempio se ho un esercizio del genere:
Sia $T:R3→R3$ l'applicazione lineare definita da :
$T(x,y,z)=(2x,y,0)$
determinare la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base $B={(1,0,1),(0,1,−1),(1,1,−1)}$ dello spazio di partenza e alla base canonica $E$ dello spazio di arrivo
Allora facilmente svolgo cosi
$T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,0,0)+0(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(0,1,−1)=(0,1,0)=0(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(1,1,−1)=(2,1,0)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$
quindi la matrice associata è \begin{Vmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}
mentre se la base di arrivo era diversa da quella canonica ma era del tipo $C={c_1,c_2,c_3}$ nel secondo passaggio avrei dovuto moltiplicare ad esempio le componenti $(2,0,0)$ ciascuna per $c_1,c_2,c_3$ oppure sbaglio ?
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà
Ad esempio se ho un esercizio del genere:
Sia $T:R3→R3$ l'applicazione lineare definita da :
$T(x,y,z)=(2x,y,0)$
determinare la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base $B={(1,0,1),(0,1,−1),(1,1,−1)}$ dello spazio di partenza e alla base canonica $E$ dello spazio di arrivo
Allora facilmente svolgo cosi
$T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,0,0)+0(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(0,1,−1)=(0,1,0)=0(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(1,1,−1)=(2,1,0)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$
quindi la matrice associata è \begin{Vmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}
mentre se la base di arrivo era diversa da quella canonica ma era del tipo $C={c_1,c_2,c_3}$ nel secondo passaggio avrei dovuto moltiplicare ad esempio le componenti $(2,0,0)$ ciascuna per $c_1,c_2,c_3$ oppure sbaglio ?
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà
Risposte
Se non ho letto male, la matrice da te scritta è corretta. Se la base del codominio fosse stata \( C \) allora dovevi ricavare le coordinate delle immagini da te calcolate (rispetto alla base \(C\)) e metterle in colonna (che è quanto hai fatto con la base canonica)
Avrei dovuto fare cosi ?
$ T(1,0,1)=(2,0,0)=2c_1+0c_2+0c_3$
$ T(0,1,-1)=(0,1,0)=0c_1+1c_2+0c_3$
$ T(1,1,-1)=(2,1,0)=2c_1+1c_2+0c_3$
Oppure sto sbagliando ?
$ T(1,0,1)=(2,0,0)=2c_1+0c_2+0c_3$
$ T(0,1,-1)=(0,1,0)=0c_1+1c_2+0c_3$
$ T(1,1,-1)=(2,1,0)=2c_1+1c_2+0c_3$
Oppure sto sbagliando ?
@faffaegnam,
non capisco..
Oggi sono in vena di scritture compatte, scusa se sarà ripetitivo (e solo che penso che ti sfuggono alcune cose), tu hai la base $$B:=\{b_1=(1,0,1),b_2=(0,1,-1),b_3=(1,1,-1)\} \subseteq \operatorname{dom} (T) $$ hai calcolato l'immagine di \( B\) rispetto ad \(T\) ovvero $$T(B):=\{T(b_1)=(2,0,0), T(b_2)=(0,1,0), T(b_3)=(2,1,0)\} \subseteq \operatorname{cod}(T)$$ adesso devi calcolare per ogni elemento di \(T(B)\) le sue coordinate rispetto alla nuova base \(C:=\{c_1,c_2,c_3\} \), ovvero prendi un \(T(b_i)\) con \(i \in \{1,2,3\}\) e verifica se $$ \exists (a_{j_i})_{j=1,2,3} \in \Bbb{R}^3 \text{ tale che }T(b_i)=\sum_{w=1}^3a_{w_i}\cdot c_w$$ se esiste allora hai appena calcolato le coordinate di \(T(b_i)\) rispetto alla nuova base \(C\) (cioè la \(i\)-esima colonna della matrice associata alle due basi..). Ti faccio l'esempio per \( T(b_1)=(2,0,0)\), nella verifica (preso un \((t_{j_1})_{j=1,2,3} := (t_{1_1},t_{2_1},t_{3_1})\in \Bbb{R}^3 \)) impongo la seguente $$T(b_1)=(2,0,0)=\sum_{w=1}^3t_{w_1}\cdot c_w=t_{1_1} \cdot c_1 + t_{2_1} \cdot c_2 + t_{3_1} \cdot c_3$$ se sono noti \(c_1,c_2,c_3\) ricavare \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\) diventa semplicissimo.
Supponendo che sono noti gli elementi di \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\), la tua matrice associata alle due basi avrà la prima colonna così fatta: $$\begin{Vmatrix}
t_{1_1}&? &? \\
t_{2_1}& ? & ?\\
t_{3_1} & ? & ?
\end{Vmatrix}$$ Prova ad applicare quanto ti ho detto nel caso iniziale con la base canonica
non capisco..
Oggi sono in vena di scritture compatte, scusa se sarà ripetitivo (e solo che penso che ti sfuggono alcune cose), tu hai la base $$B:=\{b_1=(1,0,1),b_2=(0,1,-1),b_3=(1,1,-1)\} \subseteq \operatorname{dom} (T) $$ hai calcolato l'immagine di \( B\) rispetto ad \(T\) ovvero $$T(B):=\{T(b_1)=(2,0,0), T(b_2)=(0,1,0), T(b_3)=(2,1,0)\} \subseteq \operatorname{cod}(T)$$ adesso devi calcolare per ogni elemento di \(T(B)\) le sue coordinate rispetto alla nuova base \(C:=\{c_1,c_2,c_3\} \), ovvero prendi un \(T(b_i)\) con \(i \in \{1,2,3\}\) e verifica se $$ \exists (a_{j_i})_{j=1,2,3} \in \Bbb{R}^3 \text{ tale che }T(b_i)=\sum_{w=1}^3a_{w_i}\cdot c_w$$ se esiste allora hai appena calcolato le coordinate di \(T(b_i)\) rispetto alla nuova base \(C\) (cioè la \(i\)-esima colonna della matrice associata alle due basi..). Ti faccio l'esempio per \( T(b_1)=(2,0,0)\), nella verifica (preso un \((t_{j_1})_{j=1,2,3} := (t_{1_1},t_{2_1},t_{3_1})\in \Bbb{R}^3 \)) impongo la seguente $$T(b_1)=(2,0,0)=\sum_{w=1}^3t_{w_1}\cdot c_w=t_{1_1} \cdot c_1 + t_{2_1} \cdot c_2 + t_{3_1} \cdot c_3$$ se sono noti \(c_1,c_2,c_3\) ricavare \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\) diventa semplicissimo.
Supponendo che sono noti gli elementi di \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\), la tua matrice associata alle due basi avrà la prima colonna così fatta: $$\begin{Vmatrix}
t_{1_1}&? &? \\
t_{2_1}& ? & ?\\
t_{3_1} & ? & ?
\end{Vmatrix}$$ Prova ad applicare quanto ti ho detto nel caso iniziale con la base canonica
ma non è la stessa cosa che ho detto io ? o c'è qualcosa che mi sfugge ?
@faffaegnam,
la domanda è seria?
avevi scritto:
\(T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,5,0)+0(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,0,0)+(0,0,0)=(2,10,0)\)
\(T(0,1,-1)=(0,1,0)=0(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(0,0,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(0,3,1)\)\(T(1,1,-1)=(2,1,0)=2(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(2,13,1)\)
e quindi la matrice sarebbe $$\begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
10& 3& 13\\
0& 1& 1
\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
0& 1& 1\\
0& 0& 0
\end{Vmatrix}$$
secondo tè è corretto quanto hai scritto? Non penso (non si può andare avanti per assurdi), e non è quanto ho detto io! Inoltre risulta essere uguale[nota]dove "uguale" è per assurdo[/nota]alla matrice rispetto alla base canonica; domandati: "se fosse corretto a cosa serve la base? Applicando la teoria in modo giusto (ovvero calcolando le coordinate delle singole immagini rispetto alla nuova base \(C\)) è più corretto scrivere: $$T(1,0,1)=(2,0,0)=\frac{1}{8}(1,5,0)-\frac{5}{24}(0,3,1)+\frac{5}{24}(9,0,1)$$$$T(0,1,-1)=(0,1,0)=\frac{3}{16}(1,5,0)+\frac{1}{48}(0,3,1)-\frac{1}{48}(9,0,1)$$$$T(1,1,-1)=(2,1,0)=\frac{5}{16}(1,5,0)-\frac{3}{16}(0,3,1)+\frac{3}{16}(9,0,1)$$ e la matrice sarebbe$$\begin{Vmatrix}
\frac{1}{8}&\frac{3}{16} &\frac{5}{16}\\
-\frac{5}{24}& \frac{1}{48}&-\frac{3}{16}\\
\frac{5}{24}& -\frac{1}{48}&+\frac{3}{16}
\end{Vmatrix}$$
p.s.= spero di non aver fatto qualche errore di calcolo. Inoltre nel caso della base canonica \(e \subseteq \Bbb{R}^n\), dato un vettore \(v \in \Bbb{R}^n\), mi pare ovvio che le coordinate \([v]_e=v\) (se cambi base per \( \Bbb{R}^n\) ciò non vale)
la domanda è seria?
avevi scritto:"faffaegnam":prendiamo come base per \(\Bbb{R}^3\) il sistema \(C:=\{(1,5,0) , (0,3,1) , (9,0,1)\}\), secondo quando hai scritto avrei:
Avrei dovuto fare cosi ?
$ T(1,0,1)=(2,0,0)=2c_1+0c_2+0c_3$
$ T(0,1,-1)=(0,1,0)=0c_1+1c_2+0c_3$
$ T(1,1,-1)=(2,1,0)=2c_1+1c_2+0c_3$
\(T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,5,0)+0(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,0,0)+(0,0,0)=(2,10,0)\)
\(T(0,1,-1)=(0,1,0)=0(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(0,0,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(0,3,1)\)\(T(1,1,-1)=(2,1,0)=2(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(2,13,1)\)
e quindi la matrice sarebbe $$\begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
10& 3& 13\\
0& 1& 1
\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
0& 1& 1\\
0& 0& 0
\end{Vmatrix}$$
secondo tè è corretto quanto hai scritto? Non penso (non si può andare avanti per assurdi), e non è quanto ho detto io! Inoltre risulta essere uguale[nota]dove "uguale" è per assurdo[/nota]alla matrice rispetto alla base canonica; domandati: "se fosse corretto a cosa serve la base? Applicando la teoria in modo giusto (ovvero calcolando le coordinate delle singole immagini rispetto alla nuova base \(C\)) è più corretto scrivere: $$T(1,0,1)=(2,0,0)=\frac{1}{8}(1,5,0)-\frac{5}{24}(0,3,1)+\frac{5}{24}(9,0,1)$$$$T(0,1,-1)=(0,1,0)=\frac{3}{16}(1,5,0)+\frac{1}{48}(0,3,1)-\frac{1}{48}(9,0,1)$$$$T(1,1,-1)=(2,1,0)=\frac{5}{16}(1,5,0)-\frac{3}{16}(0,3,1)+\frac{3}{16}(9,0,1)$$ e la matrice sarebbe$$\begin{Vmatrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16} &\frac{5}{16}\\
-\frac{5}{24}& \frac{1}{48}&-\frac{3}{16}\\
\frac{5}{24}& -\frac{1}{48}&+\frac{3}{16}
\end{Vmatrix}$$
p.s.= spero di non aver fatto qualche errore di calcolo. Inoltre nel caso della base canonica \(e \subseteq \Bbb{R}^n\), dato un vettore \(v \in \Bbb{R}^n\), mi pare ovvio che le coordinate \([v]_e=v\) (se cambi base per \( \Bbb{R}^n\) ciò non vale)
ti ringrazio per l'aiuto adesso mi è chiaro 
purtroppo avevo fatto un' incredibile confusione infatti avevo ottenuto lo stesso risultato che avevi ottenuto tu cioè due matrici diverse che dovevano risultare uguali e ciò era alquanto illogico XD giustamente dovevo esprimere i vettori immagine come combinazione della nuova base di arrivo XD
vorrei farti un'altra domanda sempre inerente allo stesso esercizio, quest'ultimo continua dicendo che dato $w=(2,-1,1)$ calcolare $T(w)$ facilmente ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ;
l'esercizio prosegue dicendo di determinare la matrice con cui ho iniziato la discussione;
prosegue dicendo di determinare le componenti del vettore $w$ rispetto alla base $B$ (citata sopra) e ho ottenuto il vettore $(0,-3,2)$;
e infine mi dice di calcolare $T(w)$ utilizzando la matrice con cui ho iniziato la discussione
ora il mio dubbio sorge qui poichè ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ossia il vettore uguale a quello sopra e mi dice che non è un caso che venga uguale sapresti spiegarmi il perchè ? le componenti di un vettore non dovrebbero essere diverse per ogni base ?
purtroppo avevo fatto un' incredibile confusione infatti avevo ottenuto lo stesso risultato che avevi ottenuto tu cioè due matrici diverse che dovevano risultare uguali e ciò era alquanto illogico XD giustamente dovevo esprimere i vettori immagine come combinazione della nuova base di arrivo XD
vorrei farti un'altra domanda sempre inerente allo stesso esercizio, quest'ultimo continua dicendo che dato $w=(2,-1,1)$ calcolare $T(w)$ facilmente ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ;
l'esercizio prosegue dicendo di determinare la matrice con cui ho iniziato la discussione;
prosegue dicendo di determinare le componenti del vettore $w$ rispetto alla base $B$ (citata sopra) e ho ottenuto il vettore $(0,-3,2)$;
e infine mi dice di calcolare $T(w)$ utilizzando la matrice con cui ho iniziato la discussione
ora il mio dubbio sorge qui poichè ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ossia il vettore uguale a quello sopra e mi dice che non è un caso che venga uguale sapresti spiegarmi il perchè ? le componenti di un vettore non dovrebbero essere diverse per ogni base ?
"faffaegnam":esatto
che dato $w=(2,-1,1)$ calcolare $T(w)$ facilmente ottengo il vettore $(4,-1,0)$
"faffaegnam":ok, spero su questa parte non vi siano ulteriori dubbi
determinare la matrice con cui ho iniziato la discussione
"faffaegnam":esatto
determinare le componenti del vettore $w$ rispetto alla base $B$ (citata sopra) e ho ottenuto il vettore $(0,-3,2)$
"faffaegnam":usando la matrice associata ti puoi calcolare le coordinate di \(T(w)\) rispetto alla base del codominio.
infine mi dice di calcolare $T(w)$ utilizzando la matrice con cui ho iniziato la discussione
ora il mio dubbio sorge qui poichè ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ossia il vettore uguale a quello sopra e mi dice che non è un caso che venga uguale sapresti spiegarmi il perchè ? le componenti di un vettore non dovrebbero essere diverse per ogni base ?
Sinceramente non capisco la tua domanda, spero di chiarire qualche dubbio... datto \(T \in \operatorname{Hom}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3, \Bbb{R}^3)\), la base \(B\) per il \(\operatorname{dom}(T)\) e la canonica \( E \) per il \(\operatorname{cod}(T)\), la matrice associata ad \(T \) rispetto alle basi \(B \) e \(E \) è la matrice \(\mathcal{M}^B_E \in \Bbb{R}^{(3 \times 3)}\) così fatta (come abbiamo visto) $$\mathcal{M}^B_E :=\begin{Vmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}$$ si può dimostrare facilmente, preso \(w=(2,-1,1) \in \Bbb{R}^3\), che $$\begin{Vmatrix}{t_1} \\ {t_2}\\ {t_3}\end{Vmatrix} =\mathcal{M}^B_E \times \begin{Vmatrix}0 \\ -3\\ 2\end{Vmatrix} \text{ con } (0,-3,2)=[w]_B\text{ e } ({t_1} ,{t_2},{t_3})=[T(w)]_E$$ inoltre tu hai come base del \(\operatorname{cod}(T)\) la canonica per la quale vale come ti ho detto prima:
"garnak.olegovitc":
Inoltre nel caso della base canonica \( e \subseteq \Bbb{R}^n \), dato un vettore \( v \in \Bbb{R}^n \), mi pare ovvio che le coordinate \( [v]_e=v \) (se cambi base per \( \Bbb{R}^n \) ciò non vale)
Quindi vediamo se ho capito XD
Le componenti (4,-1,0) sono uguali perchè la base in arrivo è sempre quella canonica ? quindi in partenza potrei mettere qualsiasi base (chiaramente scrivendo le componenti del vettore come combinazione della base in partenza) basta che in arrivo rimane sempre la stessa base quindi otterrò sempre lo stesso vettore?
O sto facendo un errore grossolano come quello precedente ?
Le componenti (4,-1,0) sono uguali perchè la base in arrivo è sempre quella canonica ? quindi in partenza potrei mettere qualsiasi base (chiaramente scrivendo le componenti del vettore come combinazione della base in partenza) basta che in arrivo rimane sempre la stessa base quindi otterrò sempre lo stesso vettore?
O sto facendo un errore grossolano come quello precedente ?
purtroppo non capisco la tua domanida, tagliamo la testa al toro e facciamo così, prendi il tuo omomorfismo \(T\) stavolta con la base per il dominio \(C:=\{(1,5,0) , (0,3,1) , (9,0,1)\}\) e la base canonica \(E\) per il codominio, dimmi le coordinate delle immagini dei vettori della base \(C\) rispetto alla base canonica E, ovvero: $$[T(1,5,0)]_E=?$$$$[T(0,3,1)]_E=?$$$$[T(9,0,1)]_E=?$$ Se riesci a fare questo piccolissimo esercizio e rispondere bene, suppongo che hai capito 
i vettori sono ${2,5,0},{0,3,0},{18,0,0}$
quello che dicevo io è se calcolo la matrice associata a $T$ rispetto alla base$ C$ ottengo la matrice
\begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}
ora se determino le componenti del solito vettore ($2,-1,1)$ rispetto alla base $C$ ottengo il vettore $(-5/18,17/24,7/24)$
se calcolo$ T(2,-1,1) $utilizzando la matrice associata a $T$ rispetto a $C$
ossia se faccio
\begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix} moltiplicata per
\begin{Vmatrix}-5/18\\ 17/24\\ 7/24\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}4\\- 1\\ 0\end{Vmatrix}
questo intendevo io cambiando base ottengo sempre il vettore ${4,-1,0}$ come mai ?
quello che dicevo io è se calcolo la matrice associata a $T$ rispetto alla base$ C$ ottengo la matrice
\begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}
ora se determino le componenti del solito vettore ($2,-1,1)$ rispetto alla base $C$ ottengo il vettore $(-5/18,17/24,7/24)$
se calcolo$ T(2,-1,1) $utilizzando la matrice associata a $T$ rispetto a $C$
ossia se faccio
\begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix} moltiplicata per
\begin{Vmatrix}-5/18\\ 17/24\\ 7/24\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}4\\- 1\\ 0\end{Vmatrix}
questo intendevo io cambiando base ottengo sempre il vettore ${4,-1,0}$ come mai ?
"faffaegnam":intanto attento alle "diciture", non è "matrice associata a $T$ rispetto alla base$ C$ " bensì "matrice associata a $T$ rispetto alle basi $ C$ ed $E$", aldilà di ciò la matrice è corretta
i vettori sono ${2,5,0},{0,3,0},{18,0,0}$ quello che dicevo io è se calcolo la matrice associata a $T$ rispetto alla base$ C$ ottengo la matrice
\begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}
"faffaegnam":mi fido
ora se determino le componenti del solito vettore ($2,-1,1)$ rispetto alla base $C$ ottengo il vettore $(-5/18,17/24,7/24)$
"faffaegnam":usando quella matrice ottieni le coordinate di \(T(w)\) rispetto alla base del codominio (ovvero rispetto alla canonica, la canonica per \(\Bbb{R}^n\) ha quella proprietà particolare ergo ottieni anche il vettore immagine di \(w\) (rispetto ad \(T\))[nota]potevi anche sviluppare la combinazione unica che lega gli elementi della base con le coordinate del vettore ed avere il vettore in questione[/nota]).
se calcolo$ T(2,-1,1) $utilizzando la matrice associata a $T$ rispetto a $C$
ossia se faccio
\( \begin{Vmatrix}2 & 0 & 18 \\ 5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix} \times \begin{Vmatrix}-5/18\\ 17/24\\ 7/24\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}4\\- 1\\ 0\end{Vmatrix} \)
questo intendevo io cambiando base ottengo sempre il vettore ${4,-1,0}$ come mai ?
Come mai ottieni sempre il vettore \((4,-1,0)\)? Cosa ti aspettavi, un vettore immagine di \(w\) rispetto ad \(T\) diverso cambiando base del dominio? \(\Bbb{R}^3\) è generato da un qualsiasi sistema di \(3\) vettori linearmente indipendenti su \( \Bbb{R}\) e un omomorfismo è una funzione.. bla bla..
Ho capito bene, o mi sfugge qualcosa della tua domanda?
quindi la morale è che indipendentemente dalle basi del dominio purchè siamo di $R^3$ non cambiando la base del codominio (ossia quella canonica) per qualsiasi vettore $w$ otterrò sempre lo stesso $T(w)$
Giusto ?
Giusto ?
arrivati a questo punto meglio continuare in PM
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