Matrice associata a trasformazione lineare

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Sia \(\displaystyle L: V \longrightarrow V \) un'applicazione lineare, e sia B = { \(\displaystyle v_1, ... , v_n \) } una base di V. Si assuma che esistano n scalari ( \(\displaystyle c_1, ..., c_n \) ) tali che \(\displaystyle L( v_i ) = c_i v_1 \) per ogni i = 1, ..., n. Si determini la matrice \(\displaystyle ( M_B )^B (L) \).

Io ho pensato che poiché ogni vettore v di V può essere scritto come combinazione lineare di \(\displaystyle v_1, ..., v_n \)

\(\displaystyle v = x_1 v_1 + ... + x_n v _n \)

Allora \(\displaystyle L( v ) = c_1 x_1 v_1 + ... + c_n x_n v_n \) Ma ciò significa che, a livello di coordinate riferite alla base B, L moltiplica ogni coordinata \(\displaystyle x_i \) per \(\displaystyle c_i \), allora la matrice associata dalla base B alla base B ( n x n ) non può che essere una matrice diagonale che ha, come elementi della diagonale, gli scalari \(\displaystyle c_1, ..., c_n \)

E' un ragionamento corretto o no? Vi prego rispondetemi!

Risposte
Emar1
Direi che il ragionamento è corretto

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