Matrice associata a forma bilineare in base canonica e base {v1,v2}

[aramant16]

Salve, in una serie di matematica mi è dato il seguente esercizio:

Data la forma bilineare
$ b : R^2 rarr R^2 $
$ b (v,w) = 2v_1w_1 - 3v_1w_2 + 4v_2w_2 $

Mi è chiesto di trovare le matrici associate a b nella base canonica ($ e_1, e_2 $) e nella base ($ v_1 = (1,0) , v_2 = (1,1) $).

Io ho usato la formula: $ b(v,w)=v\cdot M\cdot w $

Per la base canonica trovo la matrice $ ( ( 2 , -3 ),( 0 , 4 ) ) $

Sono in dubbio su come procedere per trovare invece la matrice associata a b nella base $ v_1, v_2 $, siccome ritrovo la matrice $ ( ( 2 , -3 ),( 0 , 4 ) ) $.
Per risolvere il problema ho usato il seguente sistema di equazione:

$ { ( b(v_1,v_1)=v_1\cdot M\cdot v_1 ),( b(v_1,v_2)=v_1\cdot M\cdot v_2 ),
( b(v_2,v_1)=v_2\cdot M\cdot v_1 ),( b(v_2,v_2)=v_2\cdot M\cdot v_2 ):} $

[Sk_Anonymous]

Per la seconda parte i risultati sono questi:
\(\displaystyle b(v_1,v_1)=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=2 \)
\(\displaystyle b(v_1,v_2)=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=-1 \)
\(\displaystyle b(v_2,v_1)=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=2 \)
\(\displaystyle b(v_2,v_2)=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=3\)
Pertanto al matrice $M^{v$ richiesta è :
\(\displaystyle M^v=\begin{pmatrix}2&-1\\2&3\end{pmatrix} \)
A tanto si arriva anche con altro metodo .
Risulta:
$v_1=1\cdot e_1+0\cdot e_2$
$v_2=1\cdot e_1+1\cdot e_2$
Pertanto la matrice P di transizione dalla base e alla base v è :
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \)
Sussiste allora la formula :
\(M^v=P^t \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix} \cdot P=\)
\(= \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-3\\0&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&3\end{pmatrix} \)

[aramant16]

Grazie, ottima spiegazione!