Matrice associata a forma bilineare

[DonaldDarko]

Vorrei un aiuto per questo esercizio:
Sia $ B={(1,1,0);(1,-1,0);(0,1,1)} $ una base di $ R^3 $ . Si consideri la forma bilineare bA dove A è la matrice
$ ( (1,1,2),(-1,2,0),(-2,1,3) ) $
trovare la matrice che rappresenta bA rispetto a B.

Ho trovato che bA è definita da :
$ x1y1 + x1y2 + 2x1y3 - x2y1+ 2x2y2 - 2x3y1 +x3y2 + 3x3y3 $
Ma non so come trovare la matrice che rappresenta la forma bilineare bA nella base B.
Grazie in anticipo

[Emar1]

Dai un'occhiata alla guida su come scrivere le formule e prova a modificare il messaggio di conseguenza.

Qui devi semplicemente utilizzare le formule per il cambio di base.

Se \(\mathbf{x}\) è il vettore rispetto alla base standard, allora nella nuova base esso sarà \(\mathbf{x}' = B^{-1}\mathbf{x}\) dove $B$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base $B$. Sfruttando questa relazione avrai:
\[\mathbf{x}^T A \mathbf{y} = (B\mathbf{x}')^T A (B\mathbf{y}') = \mathbf{x}'^T(B^T A B)\mathbf{y}'\]

Quindi la matrice che rappresenta la forma nella nuova base è $B^T A B$.

[DonaldDarko]

Quindi la nuova matrice é :
$ ( (1,1,0),(1,-1,0),(0,1,1) ) $ · $ ( (1,1,2),(-1,2,0),(-2,1,3) ) $ · $ ( (1,1,0),(1,-1,1),(0,0,1) ) $
Giusto?

[DonaldDarko]

Quindi $ B^t A B $ é la matrice :
$ ( (3,-1,2),(0,5,5),(-1,0,3) ) $