Matrice associata a f
Ciao, mi potreste dire come si può svolgere questo esercizio?
Sia f:M(2,2,R)->R3 l'applicazione lineare definita da:
f=(x1-x3, x2+x3+x4, x2-x4)
dire se esiste e, in caso affermativo, determinarla esplicitamente, una base B di R3 tale che la matrice associata a f rispetto alla base canonica di M(2,2,R) e a B sia A' la matrice:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Secondo me bisogna usare la formula A'=B^-1 A C dove:
A è la matrice
1 0 -1 0
0 1 1 1
0 1 0 -1
C è la matrice
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
però mi blocco quando devo trovare B perchè non riesco ad invertire le matrici A' oppure A.
Qualcuno mi può aiutare?
Sia f:M(2,2,R)->R3 l'applicazione lineare definita da:
f=(x1-x3, x2+x3+x4, x2-x4)
dire se esiste e, in caso affermativo, determinarla esplicitamente, una base B di R3 tale che la matrice associata a f rispetto alla base canonica di M(2,2,R) e a B sia A' la matrice:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Secondo me bisogna usare la formula A'=B^-1 A C dove:
A è la matrice
1 0 -1 0
0 1 1 1
0 1 0 -1
C è la matrice
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
però mi blocco quando devo trovare B perchè non riesco ad invertire le matrici A' oppure A.
Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
non credo si possa parlare di invertibilità in quanto le matrici non sono quadrate e dunque non puoi definire il determinante...
comunque la risp è affermativa in quanto il rango della matrice è 3 e dunque vi è nucleo (questo ovviamente in quanto stai andando da uno spazio di dimensione 4 a uno di dimensione 3).
per il calcolo eplicito della base B devi fare solo un pò di conti
comunque la risp è affermativa in quanto il rango della matrice è 3 e dunque vi è nucleo (questo ovviamente in quanto stai andando da uno spazio di dimensione 4 a uno di dimensione 3).
per il calcolo eplicito della base B devi fare solo un pò di conti
Che tipo ti conti devo fare?
beh devi trovare una base di $RR^3$ tale che le immagini dei vettori della base canonica di $M(2,2,RR)$ siano proprio il primo il secondo e il terzo vettore della base di $RR^3$... su su non è diffficile.
Sto provando a risolverlo in questo modo, è giusto?
A'=B^-1 A C
1 0 0 0___X11 X12 X13__1 0 -1 0_1 0 0 0
0 1 0 0 =__X21 X22 X23 * 0 1 1 1 * 0 1 0 0
0 0 1 0___X31 X32 X33__0 1 0 -1_0 0 1 0
____________________________0 0 0 1
Imposto il seguente sistema facendo la moltiplicazione righe per colonne tra B^-1 e A, in modo tale da ottenere A', in quando C si può tralasciare perchè è la matrice identità.
X11=1
X12+X13=0
-X11+X12=0
X12-X13=0
tra la seconda e quarta equazione c'è un incompatibilità
X21=1
X22+X23=1
-X21-X22=0
X22-X23=0
c'è ancora un incompatibilità tra la seconda e quarta equazione
X31=0
X32+X33=0
-X31-X32=1
X32-X33=0
c'è ancora un incompatibilità tra la seconda e quarta equazione
Ho impostato male l'esercizio?
A'=B^-1 A C
1 0 0 0___X11 X12 X13__1 0 -1 0_1 0 0 0
0 1 0 0 =__X21 X22 X23 * 0 1 1 1 * 0 1 0 0
0 0 1 0___X31 X32 X33__0 1 0 -1_0 0 1 0
____________________________0 0 0 1
Imposto il seguente sistema facendo la moltiplicazione righe per colonne tra B^-1 e A, in modo tale da ottenere A', in quando C si può tralasciare perchè è la matrice identità.
X11=1
X12+X13=0
-X11+X12=0
X12-X13=0
tra la seconda e quarta equazione c'è un incompatibilità
X21=1
X22+X23=1
-X21-X22=0
X22-X23=0
c'è ancora un incompatibilità tra la seconda e quarta equazione
X31=0
X32+X33=0
-X31-X32=1
X32-X33=0
c'è ancora un incompatibilità tra la seconda e quarta equazione
Ho impostato male l'esercizio?
scrivi meglio le formule! non si capisce nulla
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