Matrice associata a endomorfismo rispetto alla base canonica

[Jek1]

Ciao a tutti.
Ho un dubbio che mi attanaglia da un pò di tempo. Ve lo spiego con un esempio:
Sia $T: R^3->R^3$ un endomorfismo tale che:
$T(1,1,0)=(1,1,0)$
$T(0,1,1)=(0,1,1)$
$T(0,0,1)=(0,0,2)$
Devo calcolare la matrice associata al suddetto endomorfismo rispetto alla base canonica; durante i numerosi esercizi che ho svolto ho incontrato due diverse procedure che mi sembrano un pò in contrasto.
PRIMO METODO:
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(1,0,0)$ da cui ottengo $x=1, y=-1, z=1$
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(0,1,0)$ da cui ottengo $x=0, y=1, z=-1$
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(0,0,1)$ da cui ottengo $x=0, y=0, z=1$ (quest'ultimo calcolo me lo potevo anche risparmiare)
Fatto questo calcolo i vettori della base canonica:
$e_1=(1,1,0)-(0,1,1)+(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_1)=(1,0,1)$
$e_2=(0,1,1)-(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_2)=(0,1,-1)$
$e_3=(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_3)=(0,0,2)$
Dopodiché metto i vettori trovati in colonna in una matrice:
$A=$$((1,0,0),(0,1,0),(1,-1,2))$


SECONDO METODO:
Riporto i passaggi iniziali perché sono gli stessi:
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(1,0,0)$ da cui ottengo $x=1, y=-1, z=1$
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(0,1,0)$ da cui ottengo $x=0, y=1, z=-1$
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(0,0,1)$ da cui ottengo $x=0, y=0, z=1$ (quest'ultimo calcolo me lo potevo anche risparmiare)
Fatto questo calcolo i vettori della base canonica:
$e_1=(1,1,0)-(0,1,1)+(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_1)=(1,0,1)_B$$=1*(1,1,0)+0*(0,1,1)+1*(0,0,1)=(1,1,1)$
$e_2=(0,1,1)-(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_2)=(0,1,-1)_B$$=0*(1,1,0)+1*(0,1,1)-1*(0,0,1)=(0,1,0)$
$e_3=(0,0,1)$ da cui ottengo $T(e_3)=(0,0,2)_B$$=0*(1,1,0)+0*(0,1,1)+2*(0,0,1)=(0,0,2)$
E poi metto i risultati in colonna, come segue:
$A=$$((1,0,0),(1,1,0),(1,0,2))$

Ora la domanda è: quale è il metodo corretto da utilizzare???
Grazie in anticipo per la risposta.

[Jek1]

Nessuno è in grado di aiutarmi?

[g.longhi]

Direi che nel primo puoi lavorare a ritroso.
Cioè:

$ f(0,1,0) = f(0,1,1) - f(0,0,1) = (0,1,1) - (0,0,2) = (0,1,-1)$
$f(1,0,0) = f(1,1,0) - f(0,1,0) = (1,1,0) - (0,1,-1) = (1,0,1) $

Da cui viene esattamente uguale alla tua nel primo modo.

C'è anche un modo più rapido nel caso di esercizi più complessi.

Poniamoci nel caso generale $ f: U->V $ con B e C basi di U (C base canonica, B non canonica) e $ B_1,C_1 $ per V.

Allora la matrice canonicamente associata alla trasf.lineare sarà data da

$ M^C_(C') (f) = M^(B')_(C') (id) xx M^B_(B') (f) xx M^C_(B) (id) $

M sta per matrice, l' "esponente" indica la base di partenza e quella al pedice di arrivo. M(id) sarebbe la matrice identica.
Abbiamo quindi che la tua B' = C' poichè lavori in base diversa solo nel dominio, dunque il primo termine del prodotto è la classica matrice 3x3 identica, e puoi benissimo non considerarla (in questo caso!).

$ M^B_(B') (f) $ è la matrice dell'endomorfismo dalla base B alla base B' che abbiamo detto essere la base canonica di $RR^3$, quindi sarebbero le immagini dei vettori della base B in colonna.

$M^C_(B) (id) $ invece è la matrice identica dalla base C (parliamo del dominio) alla base B.
In questo caso noi abbiamo $M^B_(C) (id) $ , e dunque basta trovarne l'inversa.

In definitiva:

$ M^C_(C') (f) = M^B_(B') (f) xx M^B_(C) ^(-1) (id) $

Fai i conti e torna tutto

[Jek1]

Ciao, grazie per la risposta; due stringhe non si vedono.
Ma si può comunque procedere senza usare le matrici di passaggio.
In definitiva qual'è il modo corretto, il primo o il secondo? Scusa se insisto, ma vorrei capirla bene questa cosa anche perché a breve ho un esame.
Grazie ancora.

[g.longhi]

Non ti so dire perchè non si vedono le due formule, ma comunque il primo metodo è sicuramente giusto. (se ho capito un minimo di algebra)
Usalo tranquillamente