Matrice associata a cambiamento di base e matrice associata ad applicazione
salve,
ho un po' di confusione in mente,
credo di aver capito benissimo come funziona il prodotto riga per colonna e perchè funzioni cosi, in particolare:
se ho una matrice di cambiamento di base dalla base $A$ alla base $B$ (cioè una matrice che contiene nelle colonne i vettori della base $A$ scritti rispetto alla base $B$) allora mettendo a destra di questa matrice un vettore in base $A$ e facendo la moltiplicazione mi verrà fuori lo stesso vettore scritto in base $B$.
se ho una matrice associata ad un'applicazione dalla base $A$ alla base $B$ (cioè una matrice che contiene nelle colonne le coordinate delle immagini dei vettori della base $A$ scritte rispetto alla base $B$) allora mettendo a destra di questa matrice un vettore in base $A$ e facendo la moltiplicazione mi viene fuori l'immagine del vettore scritto in base $B$.
giusto?
la mia domanda è questa
queste due tipologie di matrici, che io mi ostino a distinguere, non è che in realtà sono la stessa cosa? o possono essere interpretati nello stesso modo?
perchè io so che un'applicazione è una trasformazione nello spazio, ed ho letto da qualche parte che una trasformazione non è altro che un cambio di coordinate.
in questo momento c'è il caos nella mia mente
help
ho un po' di confusione in mente,
credo di aver capito benissimo come funziona il prodotto riga per colonna e perchè funzioni cosi, in particolare:
se ho una matrice di cambiamento di base dalla base $A$ alla base $B$ (cioè una matrice che contiene nelle colonne i vettori della base $A$ scritti rispetto alla base $B$) allora mettendo a destra di questa matrice un vettore in base $A$ e facendo la moltiplicazione mi verrà fuori lo stesso vettore scritto in base $B$.
se ho una matrice associata ad un'applicazione dalla base $A$ alla base $B$ (cioè una matrice che contiene nelle colonne le coordinate delle immagini dei vettori della base $A$ scritte rispetto alla base $B$) allora mettendo a destra di questa matrice un vettore in base $A$ e facendo la moltiplicazione mi viene fuori l'immagine del vettore scritto in base $B$.
giusto?
la mia domanda è questa
queste due tipologie di matrici, che io mi ostino a distinguere, non è che in realtà sono la stessa cosa? o possono essere interpretati nello stesso modo?
perchè io so che un'applicazione è una trasformazione nello spazio, ed ho letto da qualche parte che una trasformazione non è altro che un cambio di coordinate.
in questo momento c'è il caos nella mia mente
help
Risposte
La matrice di passaggio da $B$ a $B’$ di un $K$ spazio $V$ di dimensione $n$ è la matrice rappresentativa di $id_V:V->V$
Dove $id_V$ è l’omomorfismo identico di $V$
In poche parole tale applicazione si identifica univocamente per mezzo di un’unica matrice $A in GL_(n)(K)$
dove
$C_B:K^n->V$ e $C_(B’):K^n->V$
Sono le applicazioni delle coordinate nelle due basi
Dove $id_V$ è l’omomorfismo identico di $V$
In poche parole tale applicazione si identifica univocamente per mezzo di un’unica matrice $A in GL_(n)(K)$
$id_V=C_(B’)circL_AcircC_(B)^(-1)$
dove
$C_B:K^n->V$ e $C_(B’):K^n->V$
Sono le applicazioni delle coordinate nelle due basi
"anto_zoolander":
La matrice di passaggio da $B$ a $B’$ di un $K$ spazio $V$ di dimensione $n$ è la matrice rappresentativa di $id_V:V->V$
Dove $id_V$ è l’omomorfismo identico di $V$
In poche parole tale applicazione si identifica univocamente per mezzo di un’unica matrice $A in GL_(n)(K)$
$id_V=C_(B’)circL_AcircC_(B)^(-1)$
dove
$C_B:K^n->V$ e $C_(B’):K^n->V$
Sono le applicazioni delle coordinate nelle due basi
mi sono perso
$C_B:K^n->V$ e $C_(B’):K^n->V$
cos'è $K^n$?
$id_V=C_(B’)circL_AcircC_(B)^(-1)$
cos'è $L_A$?
grazie
non capisco nei corsi di algebra lineare cosa facciano...
fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di un $K$ spazio $V$ l'applicazione
ti dice nulla?
è semplicemente l'applicazione(un isomorfismo) che associa a una $n$ upla di $K^n$ l'unico vettore di $V$.
$L_A$ è l'applicazione definita da una matrice, per intenderci $L(X)=AX$ con $L:K^n->K^m$
se non ti è chiaro cosa sia $K^n$ sostituiscilo con $RR^n$ , $CC^n$ o $ZZ_p^n$
in sostanza quello che volevo dirti era che: si, sono la stessa cosa visto che la matrice di passaggio è la matrice rappresentativa dell'applicazione identica da uno spazio in se stesso rispetto a due diverse basi
fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di un $K$ spazio $V$ l'applicazione
$L(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kv_k$
ti dice nulla?
è semplicemente l'applicazione(un isomorfismo) che associa a una $n$ upla di $K^n$ l'unico vettore di $V$.
$L_A$ è l'applicazione definita da una matrice, per intenderci $L(X)=AX$ con $L:K^n->K^m$
se non ti è chiaro cosa sia $K^n$ sostituiscilo con $RR^n$ , $CC^n$ o $ZZ_p^n$
in sostanza quello che volevo dirti era che: si, sono la stessa cosa visto che la matrice di passaggio è la matrice rappresentativa dell'applicazione identica da uno spazio in se stesso rispetto a due diverse basi
"anto_zoolander":
non capisco nei corsi di algebra lineare cosa facciano...
fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di un $K$ spazio $V$ l'applicazione
$L(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kv_k$
ti dice nulla?
è semplicemente l'applicazione(un isomorfismo) che associa a una $n$ upla di $K^n$ l'unico vettore di $V$.
$L_A$ è l'applicazione definita da una matrice, per intenderci $L(X)=AX$ con $L:K^n->K^m$
se non ti è chiaro cosa sia $K^n$ sostituiscilo con $RR^n$ , $CC^n$ o $ZZ_p^n$
in sostanza quello che volevo dirti era che: si, sono la stessa cosa visto che la matrice di passaggio è la matrice rappresentativa dell'applicazione identica da uno spazio in se stesso rispetto a due diverse basi
allora ad esempio se ho un punto nel piano e devo ruotarlo, la matrice di rotazione posso pensarla come la matrice che associa al vettore coordinate di quel punto un nuovo vettore oppure posso pensarla come una matrice che prende gli assi e li ruota in maniera tale poi da far apparire il punto ruotato?
lo so che sto delirando ahahah
è giusto porsi domande(però porta a delirare 
)
si! fondamentalmente se consideri $R_(theta):=[(costheta,-sintheta),(-sintheta,costheta)]$
l'applicazione
$L:RR^2->RR^2$ definita come $L(X)=R_(theta)X$ è un isomorfismo(perchè?) di $RR^2$ e quindi che ti manda basi in basi. Pertanto se $B={v_1,v_2}$ è una base di $RR^2$ allora $B={L(v_1),L(v_2)}$ sarà ancora una base di $RR^2$ ruotata di un certo angolo.
oppure puoi semplicemente vederla come una applicazione che a un vettore ne associa un altro che forma con il precedente un angolo $theta$, prova a mostrarlo!
controlla che $X$ e $R_(theta)X$ hanno la stessa norma e che l'angolo tra di essi è $theta$
)si! fondamentalmente se consideri $R_(theta):=[(costheta,-sintheta),(-sintheta,costheta)]$
l'applicazione
$L:RR^2->RR^2$ definita come $L(X)=R_(theta)X$ è un isomorfismo(perchè?) di $RR^2$ e quindi che ti manda basi in basi. Pertanto se $B={v_1,v_2}$ è una base di $RR^2$ allora $B={L(v_1),L(v_2)}$ sarà ancora una base di $RR^2$ ruotata di un certo angolo.
oppure puoi semplicemente vederla come una applicazione che a un vettore ne associa un altro che forma con il precedente un angolo $theta$, prova a mostrarlo!
controlla che $X$ e $R_(theta)X$ hanno la stessa norma e che l'angolo tra di essi è $theta$
"anto_zoolander":
è giusto porsi domande(però porta a delirare
si! fondamentalmente se consideri $R_(theta):=[(costheta,-sintheta),(-sintheta,costheta)]$
l'applicazione
$L:RR^2->RR^2$ definita come $L(X)=R_(theta)X$ è un isomorfismo(perchè?) di $RR^2$ e quindi che ti manda basi in basi. Pertanto se $B={v_1,v_2}$ è una base di $RR^2$ allora $B={L(v_1),L(v_2)}$ sarà ancora una base di $RR^2$ ruotata di un certo angolo.
oppure puoi semplicemente vederla come una applicazione che a un vettore ne associa un altro che forma con il precedente un angolo $theta$, prova a mostrarlo!
controlla che $X$ e $R_(theta)X$ hanno la stessa norma e che l'angolo tra di essi è $theta$
è un isomorfismo perchè $ker(L) = {0}$
quindi i vettori colonna della matrice di rotazione $(costheta,-sintheta)$ e $(sintheta,costheta)$ sono le coordinate dell'immagine dei vettori $(1,0)$ e $(0,1)$ scritte rispetto alla base canonica, se ad esempio la rotazione è di 90 gradi allora
$L((1,0)) = (0,-1)$
$L((0,1)) = (1,0)$
quindi la rotazione avviene in senso orario?
oppure definendo la base $A = {(0,-1),(1,0)}$ potrei anche dire semplicemente che i vettori della base canonica ruotati corrispondo a essi stessi ma scritti rispetto alla base $A$
https://i.imgur.com/4MS6SzY.png
e quest'immagine mi descrive la seconda cosa che ho detto, in quanto non è vero che gli assi vengono ruotati in senso antiorario
vediamo quante stupidaggini ho detto ahahah
[ot]
[/ot]
"anto_zoolander":
non capisco nei corsi di algebra lineare cosa facciano...
[/ot]
La bellezza della matrice di rotazione è che il suo determinante è sempre $1$ e quindi non nullo, quindi più che andare a vedere il nucleo, sarebbe bene notare questa proprietà.
Sostanzialmente mi viene un po' difficile parlare di 'rotazione in senso orario', il motivo è dato dal fatto che l'angolo definito per mezzo del prodotto scalare è non orientato, ovvero non si da un verso 'positivo'
comunque c'è stato un refuso, la matrice è $R_(theta)=[(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta)]$
se consideri $R_(theta)$ e $R_(-theta)$ l'angolo formato è sempre $theta$
sul sernesi c'è una bella definizione di angolo orientato che però non ho(quasi) mai visto usare in quanto
considerando che $((X*R_(theta) X))/(||X||*||R_(theta)X||)=cos(theta)$ è chiaro che ruotare di $theta$ o $-theta$ equivale al formare lo stesso angolo, poi certo puoi disegnarli come preferisci, pure a testa in giù
@magma
[ot]l'algebra lineare è bistrattata sotto tutti gli aspetti, secondo me è importantissima! a me piace un sacco, merito di una professoressa eccellente a mio avviso[/ot]
Sostanzialmente mi viene un po' difficile parlare di 'rotazione in senso orario', il motivo è dato dal fatto che l'angolo definito per mezzo del prodotto scalare è non orientato, ovvero non si da un verso 'positivo'
comunque c'è stato un refuso, la matrice è $R_(theta)=[(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta)]$
se consideri $R_(theta)$ e $R_(-theta)$ l'angolo formato è sempre $theta$
sul sernesi c'è una bella definizione di angolo orientato che però non ho(quasi) mai visto usare in quanto
considerando che $((X*R_(theta) X))/(||X||*||R_(theta)X||)=cos(theta)$ è chiaro che ruotare di $theta$ o $-theta$ equivale al formare lo stesso angolo, poi certo puoi disegnarli come preferisci, pure a testa in giù
@magma
[ot]l'algebra lineare è bistrattata sotto tutti gli aspetti, secondo me è importantissima! a me piace un sacco, merito di una professoressa eccellente a mio avviso[/ot]
"anto_zoolander":
La bellezza della matrice di rotazione è che il suo determinante è sempre $1$ e quindi non nullo, quindi più che andare a vedere il nucleo, sarebbe bene notare questa proprietà.
Sostanzialmente mi viene un po' difficile parlare di 'rotazione in senso orario', il motivo è dato dal fatto che l'angolo definito per mezzo del prodotto scalare è non orientato, ovvero non si da un verso 'positivo'
comunque c'è stato un refuso, la matrice è $R_(theta)=[(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta)]$
se consideri $R_(theta)$ e $R_(-theta)$ l'angolo formato è sempre $theta$
sul sernesi c'è una bella definizione di angolo orientato che però non ho(quasi) mai visto usare in quanto
considerando che $((X*R_(theta) X))/(||X||*||R_(theta)X||)=cos(theta)$ è chiaro che ruotare di $theta$ o $-theta$ equivale al formare lo stesso angolo, poi certo puoi disegnarli come preferisci, pure a testa in giù
@magma
[ot]l'algebra lineare è bistrattata sotto tutti gli aspetti, secondo me è importantissima! a me piace un sacco, merito di una professoressa eccellente a mio avviso[/ot]
ma allora qual è la differenza tra questa
$R_(theta)=[(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta)]$
e questa
$R_(theta)=[(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta)]$
Ottieni due vettori distinti, ma che fondamentalmente hanno la stessa proprietà: formano lo stesso angolo con il vettore $X$ e hanno la stessa norma. Il problema è che tecnicamente su $RR^2$ ti viene facile dire ‘vabbè questo lo piazzo così e quest’altro così’ però in genere non è che sai come sia orientato l’angolo
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