Matrice associata a base complessa
Sia f la forma bilineare rappresentata in base canonica dalla matrice
$((0,-1),(-1,0))$
Scrivere MB(f) =Matrice associata ad f rispetto alla base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i))
Sugli appunti che utilizzo l'espressione di MB(f) è così calcolata:
$((1+i,1-i),(2,2+3i))$ $((0,-1),(-1,0))$ $((1+i,2),(1-i,2+3i))$
e risulta
$((-4,-3i-1),(-3i-1,-8-12i))$
Io al posto della prima matrice nell'espressione avrei messo l'inversa di B
Ho ragione io o gli appunti?
$((0,-1),(-1,0))$
Scrivere MB(f) =Matrice associata ad f rispetto alla base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i))
Sugli appunti che utilizzo l'espressione di MB(f) è così calcolata:
$((1+i,1-i),(2,2+3i))$ $((0,-1),(-1,0))$ $((1+i,2),(1-i,2+3i))$
e risulta
$((-4,-3i-1),(-3i-1,-8-12i))$
Io al posto della prima matrice nell'espressione avrei messo l'inversa di B
Ho ragione io o gli appunti?
Risposte
"Spiral":
B=((1+i, i-i), (2, 2+3i))
Controlla questa base
$((1+i,1-1),(2,2+3i))$
controlla questa matrice
"weblan":
[quote="Spiral"] B=((1+i, i-i), (2, 2+3i))
Controlla questa base
$((1+i,1-1),(2,2+3i))$
controlla questa matrice[/quote]
Ho corretto
Qualcuno può darmi conferma se è giusto o sbagliato? Nell'espressione si usa la trasposta o l'inversa?
"Spiral":
B=((1+i, i-i), (2, 2+3i))
Non credo tu abbia corretto, scrivi $B={(1+i,i-i),(2,2+3i]}$
Forse vuoi scrivere $B={(1+i,1-i),(2,2+3i]}$, non credo che nella base precedente scrivevi $i-i=0$
Si hai ragione. La base è B={(1+i,1−i),(2,2+3i]}
Comunque il mio problema rimane... è corretta l'espressione?
Comunque il mio problema rimane... è corretta l'espressione?
"Spiral":
Sia f la forma bilineare rappresentata in base canonica dalla matrice
$((0,-1),(-1,0))$
Scrivere MB(f) =Matrice associata ad f rispetto alla base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i))
Sugli appunti che utilizzo l'espressione di MB(f) è così calcolata:
$((1+i,1-i),(2,2+3i))$ $((0,-1),(-1,0))$ $((1+i,2),(1-i,2+3i))$
e risulta
$((-4,-3i-1),(-3i-1,-8-12i))$
Io al posto della prima matrice nell'espressione avrei messo l'inversa di B
Ho ragione io o gli appunti?
Io non so da dove hai preso quegli appunti. La teoria dice, se conosco la matrice $H$ della forma bilineare in una base $B$ e voglio conoscere la matrice che rappresenta la forma bilineare nella base $\barB$, allora trovo la matrice del cambiamento di base $C$ da $\barB$ a $B$ e quindi la matrice che rappresenta la forma bilineare nella base $\barB$ è data dalla relazione: $C^tHC$.
Questo che ho detto non è vero
Nel tuo caso la matrice $C$ (che corrisponde alla matrice di passaggio dalla basse assegnata alla base canonica) corrisponde all'inversa della matrice che si ottiene mettendo come colonne i vettori della base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i)), quindi si trova l'inversa della matrice: $A=((1+i,2),(1-i,2+3i))$, fai la trasposta e la moltiplichi per la matrice $((0,-1),(-1,0))$ e ancora moltiplichi per l'inversa di $A=((1+i,2),(1-i,2+3i))$.
Correzione
Nel tuo caso la matrice $C$ (che corrisponde alla matrice di passaggio dalla basse assegnata alla base canonica) corrisponde alla matrice che si ottiene mettendo come colonne i vettori della base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i)), quindi la matrice $C=((1+i, 2), (1-i, 2+3i))$, si fa la trasposta $C^t=((1+i,1-i),(2,2+3i))$ e si moltiplica per la matrice $((0,-1),(-1,0))$ e ancora moltiplichi per $C=((1+i, 2), (1-i, 2+3i))$
Confermo che va bene quello che hai scritto: $((1+i,1-i),(2,2+3i))$$((0,-1),(-1,0))$$((1+i, 2), (1-i, 2+3i))$
"weblan":
Nel tuo caso la matrice $C$ (che corrisponde alla matrice di passaggio dalla basse assegnata alla base canonica) corrisponde all'inversa della matrice che si ottiene mettendo come colonne i vettori della base B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i)), quindi si trova l'inversa della matrice: $A=((1+i,2),(1-i,2+3i))$, fai la trasposta e la moltiplichi per la matrice $((0,-1),(-1,0))$ e ancora moltiplichi per l'inversa di $A=((1+i,2),(1-i,2+3i))$.
La realtà è che l'inversa di $A=((1+i,2),(1-i,2+3i))$ è tutt'altra cosa e cioè: $A^-1=((7/17-5/34i,-1/17+4/17i),(3/34+5/34i,1/17-4/17i))$
Io la matrice di cambiamento di base l'ho sempre vista calcolata in questo modo:
prendendo il mio caso in cui voglio trovare la matrice di passaggio da B a base canonica
a(1,0) + b(0,1) = (1+i,1-i) allora a= 1+i e b=1-i
c(1,0) + d(0,1) = (2,2+3i) allora c=2 e d= 2+3i
Poi la matrice di cambiamento di base sarà $A=((a,c),(b,d))$.
In tutti gli esercizi che ho visto era fatto così. Vedi anche a questo link:
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 710AA1z7mo
è sbagliato? che cosa non mi è chiaro?
Quando rispondo non ho visto ancora il link tanto è la motivazione di esporre il mio punto di vista sulla matrice di transizione da una base all'altra.
Supponiamo, per semplicità, di avere le seguenti due basi di $RR^2$.
$C={(1,0),(0,1)}$ la base canonica e $H={((1,1),(2,1)}$ una base scelta a piacere.
Supponiamo di prendere il vettore $(3,2)$ e di chiedere quali sono le componenti di tale vettore rispetto alla base $H$, esse sono $a=1$ e $b=1$, evidente. Ora questo stesso vettore che componenti ha rispetto alla base canonica? Ovvio che diciamo $a=3$ e $b=2$, però queste stesse componenti le posso ottenere moltiplicando la matrice $A=((1,2),(1,1))$ per $(1,1)$ che sono le componenti nella base $H$, cioè $A=((1,2),(1,1))$$((1),(1))$=$((3),(2))$.
Quindi la matrice $A=((1,2),(1,1))$, per me, è la matrice di passaggio dalla base $H$ alla base $C$ canonica. Ovvio che l'inversa di questa matrice $A$ è quella che mi permette di calcolare le componenti di un qualsiasi vettore nella base $H$, note queste componenti nella base canonica. In conclusione se io considero il vettore $(-2,3)$ è evidente che nella base canonica ha componenti $a=-2$ e $b=3$. Ma quali sono le componenti nella base $C$? La matrice inversa di $A$ è $A^-1=((-1,2),(1,-1))$. Risulta evidente che $A^-1=((-1,2),(1,-1))$$((-2),(3))$=$((8),(-5))$ e quest'ultime sono proprio le componenti del vettore $(-2,3)$ rispetto alla base $H={((1,1),(2,1)}$. La matrice $A^-1$ è la matrice di passaggio da $C$ a $H$.
Questo è il mio punto di vista, ora corro a vedere il link.
Supponiamo, per semplicità, di avere le seguenti due basi di $RR^2$.
$C={(1,0),(0,1)}$ la base canonica e $H={((1,1),(2,1)}$ una base scelta a piacere.
Supponiamo di prendere il vettore $(3,2)$ e di chiedere quali sono le componenti di tale vettore rispetto alla base $H$, esse sono $a=1$ e $b=1$, evidente. Ora questo stesso vettore che componenti ha rispetto alla base canonica? Ovvio che diciamo $a=3$ e $b=2$, però queste stesse componenti le posso ottenere moltiplicando la matrice $A=((1,2),(1,1))$ per $(1,1)$ che sono le componenti nella base $H$, cioè $A=((1,2),(1,1))$$((1),(1))$=$((3),(2))$.
Quindi la matrice $A=((1,2),(1,1))$, per me, è la matrice di passaggio dalla base $H$ alla base $C$ canonica. Ovvio che l'inversa di questa matrice $A$ è quella che mi permette di calcolare le componenti di un qualsiasi vettore nella base $H$, note queste componenti nella base canonica. In conclusione se io considero il vettore $(-2,3)$ è evidente che nella base canonica ha componenti $a=-2$ e $b=3$. Ma quali sono le componenti nella base $C$? La matrice inversa di $A$ è $A^-1=((-1,2),(1,-1))$. Risulta evidente che $A^-1=((-1,2),(1,-1))$$((-2),(3))$=$((8),(-5))$ e quest'ultime sono proprio le componenti del vettore $(-2,3)$ rispetto alla base $H={((1,1),(2,1)}$. La matrice $A^-1$ è la matrice di passaggio da $C$ a $H$.
Questo è il mio punto di vista, ora corro a vedere il link.
Ho letto la risposta in quel link e la riporto (anche se quì si vuole determinare la matrice che rappresenta l'endomorfismo in una base non canonica). In ogni caso la matrice del cambiamento non si determina in quel modo e ha sbagliato a determinare anche la matrice che rappresenta l'endomorfismo.
Ha detto una cosa non vera, la matrice $A'$ l'ho calcolata e risulta essere $((0,1,2),(1,2,3),(1,2,3))$ che non coincide nemmeno lontanamente dalla sua $A'=AH$.
data un'applicazione lineare L: V -> W si può scrivere la matrice A associata ad L.
per scriverla hai bisogno di una base di V(dominio).
mandi i vettori della base V attraverso L trovando così le immagini e le metti in colonna nella matrice A.
esempio base canonica di V {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
L(1,0,0)=(0,1,2)
L(0,1,0)=(3,4,5)
L(0,0,1)=(6,7,8)
questa è la matrice A
0 3 6
1 4 7
2 5 8
rispetto alla base canonica.
se tu vuoi trovare la matrice associata alla stessa applicazione cambiando però base nel dominio ad esempio, passando per esempio dalla base canonica alla base B={(3,2,1),(0,1,0),(0,0,1)} devi trovare la matrice H di cambiamento di base da B a canonica.
come trovi H?
scrivi i vettori di B in coordinate rispetto alla canonica:
(3,2,1)=3*(1,0,0) + 2*(0,1,0) + 1*(0,0,1)
(0,1,0)=0*(1,0,0) + 1*(0,1,0) + 0*(0,0,1)
(0,0,1)=0*(1,0,0) + 0*(0,1,0) + 1*(0,0,1)
e metti le coordinate in colonna trovando così la matrice H
3 0 0
2 1 0
1 0 1
ora che hai la matrice H se vuoi avere la matrice A' associata a L rispetto alla base B nel codominio moltiplichi le matrici in quest'ordine:
A' = AH
Ha detto una cosa non vera, la matrice $A'$ l'ho calcolata e risulta essere $((0,1,2),(1,2,3),(1,2,3))$ che non coincide nemmeno lontanamente dalla sua $A'=AH$.
Forse alla base del mio problema c'è uno scorretto modo di esprimermi.
L'esercizio in esame dice testualmente:
Sia f la forma bilineare su $C^2$ rappresentata in base canonica dalla matrice $((0,-1),(-1,0))$
Scrivere $M_B (f)$, dove B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i)).
Che cos'è allora $M_B (f)$ ? Non è la matrice associata ad f rispetto alla base B?
è corretto che sia calcolato come
$((1+i,1-i),(2,2+3i))$ $((0,-1),(-1,0))$ $((1+i,2),(1-i,2+3i))$ = $((-4,-3i-1),(-3i-1,-8-12i))$
L'esercizio in esame dice testualmente:
Sia f la forma bilineare su $C^2$ rappresentata in base canonica dalla matrice $((0,-1),(-1,0))$
Scrivere $M_B (f)$, dove B=((1+i, 1-i), (2, 2+3i)).
Che cos'è allora $M_B (f)$ ? Non è la matrice associata ad f rispetto alla base B?
è corretto che sia calcolato come
$((1+i,1-i),(2,2+3i))$ $((0,-1),(-1,0))$ $((1+i,2),(1-i,2+3i))$ = $((-4,-3i-1),(-3i-1,-8-12i))$
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