MATRICE associata a APP.LIN. e moltiplicata per vettore

[rosa munda]

ciao, nell'intento di mettermi alla prova, ho "inventato" un esercizio: mi è servito a fare degli errori, ripararli capendo meglio, ma il risultato finale non è corretto e chissà quanti altri errori ci sono prima del risultato;
chiedo a voi se potete dirmi in cosa sbaglio. grazie anticipatamente.

Ecco l'esercizio:

sia $ f: R^3 rarr R^3 $
sia $ f(x,y,k) = (x+y, y, x+k) $ cioè (se dico bene): $ (x,y,k) in V $ e $ (x+y,y,x+k) in W $
sia BASE (in e out) : $ [(1,1,2)(0,1,1)(2,1,0)] $ che ho verificato essere lin.indip.

trovo componenti di f (sulla base-in) relativi a base-out (basi coincidono! è qui l'errore ? perché?)
( in allegato metto anche i calcoli perché non voglio costringervi a rifarli)

$ f(1,1,2) = (2,1,3) $ = $ (2,-1,0) $
$ f(0,1,1) = (1,1,1) $ = $ (1, 1,1) $
$ f(2,1,0) = (3,1,2) $ = $ (5,-4,2) $

in questo modo trovo la matrice M che mi consente di trasformare tutti i vettori di $ R^3 $ dall'insieme V (prima della f) a vettori W (dopo la f) .

A questo punto provo a trasformare un vettore $ (3,2,1) in V $ (che però è espresso in base canonica e quindi devo prima ricavare le sue componenti in BASE-in - corretto ?) moltiplicandolo per la matrice trovata: dovrei ottenere un nuovo vettore che subisce la funzione e che viene espresso in BASE-out (se ho capito).

$ M ( ( 2 , 1 , 5 ),( -1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $ . $(1,1,4) $ RISULTA = $ (23, -16, 9) $

v ( 1,1,4) è la ex 3,2,1 in canonica


Ora vorrei fare una contro-prova per verificare che l'ipotesi sia corretta e cioè: trasformare il vettore in questione $ v=(3,2,1) $ con l'applicazione f e poi con la base-out, cioè:

- non mi è chiaro se devo convertirlo su base-in o no, quindi provo con entrambe:

A) $ f (3,2,1) = (5,2,4) = x (1,1,2) + y (0,1,1) + k (2,1,0) $ risulta $ (3,-2,1) $
B) $ f (1,1,4) = (2,1,5) = x (1,1,2) + y (0,1,1) + k (2,1,0) $ risulta $ (10,-5,-2) $

Come si può vedere, nessuna delle due corrisponde a quella risultante dalla moltiplicazione della matrice per il vettore di "prova".


Ho provato ad allegare file (ma non era in formato desiderato) e poi immagini ... non so cosa si vedrà ... quindi ho riscritto i calcoli qua sotto.





FORMULE RICERCA COMPONENTI VETTORI SU BASE-OUT

componenti di:
SISTEMA f(1,1,2) f(0,1,1) f(2,1,0) f(3,2,1) f(1,1,4) vettore prova
passaggi = 2,1,3 = 1,1,1 = 3,1,2 = 5,2,4 = 2,1,5 (3,2,1) da canonica
a base-in

X + 2K = 2 1 3 5 2 3
X + Y + K = 1 1 1 2 1 2
2X + Y = 3 1 2 4 5 1

p 2,1

X + Y + K = 1 1 1 2 1 2
X + 2K = 2 1 3 5 2 3
2X + Y = 3 1 2 4 5 1

e 2,1 (-1)
e 3,1 (-2)

X + Y + K = 1 1 1 2 1 2
- Y + K = 1 0 2 3 1 1
- Y - 2K = 1 -1 0 0 3 -3

e 3,2 (-1)

X + Y + K = 1 1 1 2 1 2
-Y + K = 1 0 2 3 1 1
-3K = 0 -1 -2 -3 2 -4


RISULTATI f(1,1,2) f(0,1,1) f(2,1,0) f(3,2,1) f(1,1,4) vettore (3,2,1)
X = 2 X = 1/3 X = 5/3 X = 3 X = 10/3 X = 1/3
Y = -1 Y = 1/3 y = -4/3 Y = -2 Y = -5/3 Y = 1/3
K = 0 K = 1/3 K = 2/3 K = 1 K = -2/3 K = 4/3

CIOE' (2,-1,0) (1,1,1) (5,-4,2) (3,-2,1) (10,-5,-2) (1,1,4)

[rosa munda]

provo ad allegare l'immagine della prima parte dei calcoli