Matrice associata
Sto cercando di risolvere questo esercizio da tutta la mattina , riguarda la matrice associata .
Sia $f : RR^3 \to RR^2 $ la funzione definita come $f(x,y,z) = (2x-3y, y-x+z)$. Verificare che è lineare. Trovare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di $ RR^3$ e $\{(1,-1),(2,1)\}$ di $ RR^2$ .
Ho verificato che è lineare ma non riesco a capire come si faccia la matrice associata .
io ero partita prendendo i vettori della base canonica $(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)$ e ciascuno li manderei in $(1,-1), (2,1)$ , ma non so come fare.
Un grazie a chi mi saprà aiutare .
Sia $f : RR^3 \to RR^2 $ la funzione definita come $f(x,y,z) = (2x-3y, y-x+z)$. Verificare che è lineare. Trovare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di $ RR^3$ e $\{(1,-1),(2,1)\}$ di $ RR^2$ .
Ho verificato che è lineare ma non riesco a capire come si faccia la matrice associata .
io ero partita prendendo i vettori della base canonica $(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)$ e ciascuno li manderei in $(1,-1), (2,1)$ , ma non so come fare.
Un grazie a chi mi saprà aiutare .
Risposte
potresti prima calcolarti la matrice dell'applicazione rispetto alla base canonica e poi moltiplicare (a destra) tale matrice per la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base che hai detto tu
O altrimenti potresti procedere nel seguente modo:
- trovi le immagini della base di [tex]{\mathbb{R}}^3[/tex] che hai a disposizione, ovvero i versori fondamentali [tex]{e}_{1} \wedge {e}_{2} \wedge {e}_{3}[/tex], ed esprimi i risultati ottenuti come combinazione lineare degli elementi della base del codominio, ovvero supposta [tex]B:=\left\{{b}_{1},{b}_{2}\right\}[/tex] base del codominio [tex]{\mathbb{R}}^2[/tex] trovi due coefficienti [tex]\alpha \wedge \beta \in \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]f(v)=\alpha {b}_{1}+ \beta {b}_{2}[/tex] dove [tex]v[/tex] corrisponde ad ognuno degli elementi della base del dominio, nel tuo caso hai
[tex]f({e}_{1})=f(1,0,0)=(2,-1)=\frac{4}{3}(1,-1)+\frac{1}{3}(2,1)[/tex]
[tex]f({e}_{2})=f(0,1,0)=(-3,1)=-\frac{5}{3}(1,-1)+(-\frac{2}{3})(2,1)[/tex]
[tex]f({e}_{3})=f(0,0,1)=(0,1)=-\frac{2}{3}(1,-1)+\frac{1}{3}(2,1)[/tex]
- ora disponi i coefficienti trovati per colonna in una matrice partendo da quelli relativi all'immagine del primo vettore della base del dominio fino ad arrivare a quelli dell'ultimo, per capirci se hai
(N.B. per semplicità faccio un esempio con un applicazione [tex]h: {\mathbb{R}}^2 \rightarrow {\mathbb{R}}^2[/tex])
[tex]h({v}_{1})={\alpha}_{1}{w}_{1}+{\beta}_{1}{w}_{2}[/tex]
[tex]h({v}_{2})={\alpha}_{2}{w}_{1}+{\beta}_{2}{w}_{2}[/tex]
con [tex]\left\{{v}_{1},{v}_{2}\right\}[/tex] base del dominio e [tex]\left\{{w}_{1},{w}_{2}\right\}[/tex] base del codominio, trovi la matrice associata all'applicazione [tex]h[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & {\alpha}_{2} \\ {\beta}_{1} & {\beta}_{2} \end{pmatrix}[/tex]
e quindi nel tuo caso la matrice associata sarà
[tex]\begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}[/tex]
- trovi le immagini della base di [tex]{\mathbb{R}}^3[/tex] che hai a disposizione, ovvero i versori fondamentali [tex]{e}_{1} \wedge {e}_{2} \wedge {e}_{3}[/tex], ed esprimi i risultati ottenuti come combinazione lineare degli elementi della base del codominio, ovvero supposta [tex]B:=\left\{{b}_{1},{b}_{2}\right\}[/tex] base del codominio [tex]{\mathbb{R}}^2[/tex] trovi due coefficienti [tex]\alpha \wedge \beta \in \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]f(v)=\alpha {b}_{1}+ \beta {b}_{2}[/tex] dove [tex]v[/tex] corrisponde ad ognuno degli elementi della base del dominio, nel tuo caso hai
[tex]f({e}_{1})=f(1,0,0)=(2,-1)=\frac{4}{3}(1,-1)+\frac{1}{3}(2,1)[/tex]
[tex]f({e}_{2})=f(0,1,0)=(-3,1)=-\frac{5}{3}(1,-1)+(-\frac{2}{3})(2,1)[/tex]
[tex]f({e}_{3})=f(0,0,1)=(0,1)=-\frac{2}{3}(1,-1)+\frac{1}{3}(2,1)[/tex]
- ora disponi i coefficienti trovati per colonna in una matrice partendo da quelli relativi all'immagine del primo vettore della base del dominio fino ad arrivare a quelli dell'ultimo, per capirci se hai
(N.B. per semplicità faccio un esempio con un applicazione [tex]h: {\mathbb{R}}^2 \rightarrow {\mathbb{R}}^2[/tex])
[tex]h({v}_{1})={\alpha}_{1}{w}_{1}+{\beta}_{1}{w}_{2}[/tex]
[tex]h({v}_{2})={\alpha}_{2}{w}_{1}+{\beta}_{2}{w}_{2}[/tex]
con [tex]\left\{{v}_{1},{v}_{2}\right\}[/tex] base del dominio e [tex]\left\{{w}_{1},{w}_{2}\right\}[/tex] base del codominio, trovi la matrice associata all'applicazione [tex]h[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & {\alpha}_{2} \\ {\beta}_{1} & {\beta}_{2} \end{pmatrix}[/tex]
e quindi nel tuo caso la matrice associata sarà
[tex]\begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}[/tex]
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