Matrice associata

[sbrego22]

Sia $F: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare definita da :

F=$((1),(0),(0),(0))$=$((0),(0),(0),(1))$ F=$((1),(2),(0),(0))$=$((4),(0),(2),(1))$ F=$((1),(2),(3),(0))$=$((4),(3),(2),(1))$ F=$((1),(2),(3),(4))$=$((0),(3),(2),(1))$

Come si calcola in questo caso la matrice associata alla funzione?
Io avevo pensato che i vettori, su cui si applica l'applicazione lineare, si possono riscriverli come somma delle varie componenti canoniche.

Volevo chiedervi se come procedevo andavo nelle direzione giusta o no? Se si come si poteva procedere a calcolare la matrice.

[Steven11]

Sì, è giusto.

Praticamene avrai che, indicando con [tex]$e_k$[/tex] i vettori della base canonica,

[tex]$F(e_1)=e_4$[/tex]

[tex]$F(e_1)+2F(e_2)=4e_1+2e_3+e_4$[/tex]

[tex]$F(e_1)+2F(e_2)+3F(e_3)=4e_1+3e_2+2e_3+e_4$[/tex]

[tex]$F(e_1)+2F(e_2)+3F(e_3)+4F(e_4)=3e_2+2e_3+e_4$[/tex]

E' sostanzialmente un sistema, osserva che è molto semplice: nella seconda equazione se sostituisci [tex]$e_4$[/tex] ad [tex]$F(e_1)$[/tex] (grazie alla prima) hai subito anche $F(e_2)$.
Poi sostituisci nella terza [tex]$F(e_1)$[/tex] e [tex]$F(e_2)$[/tex] etc.

Oppure se sottrai un'equazione a caso con la precedente, ti rimarrà una sola [tex]$F(e_k)$[/tex] incognita.
Quindi hai vari modi.
Spero sia chiaro, ciao.