Matrice associata
Sia T : $R^3$$rarr$$R^3$ la funzione lineare definita da:
T$(x,y,z)$ = $(x+y, 2x - y - z, 2y+z)$
e sia B=((1,2, -4) , (0,1,1) , (1,0, -7)) una base.
Come determino la matrice associata a T rispetto alla base B?
Ho provato ad esprimere e1,e2,e3 come comb lineare dei vettori della base e poi moltiplicare i vettori ottenuti per la matrice che esprime l'endomorfismo in base canonica ma non ha funzionato.
La soluzione riportata sul libro è :
$( (17,12,-9) , ( -30, -26, 27) , ( -14, -11, 10) )$
[mod="cirasa"]Modificato il titolo. Evita di usare il testo tutto maiuscolo per le prossime volte. Grazie.[/mod]
T$(x,y,z)$ = $(x+y, 2x - y - z, 2y+z)$
e sia B=((1,2, -4) , (0,1,1) , (1,0, -7)) una base.
Come determino la matrice associata a T rispetto alla base B?
Ho provato ad esprimere e1,e2,e3 come comb lineare dei vettori della base e poi moltiplicare i vettori ottenuti per la matrice che esprime l'endomorfismo in base canonica ma non ha funzionato.
La soluzione riportata sul libro è :
$( (17,12,-9) , ( -30, -26, 27) , ( -14, -11, 10) )$
[mod="cirasa"]Modificato il titolo. Evita di usare il testo tutto maiuscolo per le prossime volte. Grazie.[/mod]
Risposte
Per quello che so io la matrice è formata dai vettori colonna $T(b_{i})$,ma sei sicuro della soluzione a me pare sbagliata a prima vista..
pure io sapevo cosi...forse il libro è impazzito...
Edge hai quasi ragione, secondo quanto hai detto [tex]T(\underline{b_i})[/tex] deve essere rappresentato nella base [tex]B[/tex] (ecco l'errore) e le sue coordinate determinano la [tex]i[/tex]-esima colonna della matrice associata a [tex]T[/tex] in [tex]B[/tex]!
e quindi j18eos tu come procederesti ?
io provo a esprimere le immagini rispetto alla base canonica dell'endomorfismo come combinazione lineare dei vettori della nuova base ovvero scrivo( lavorando sulla prima riga della matrice associata rispetto alla canonica ):
$(1,1,0)$ = x $(1,2, -4)$ + y $(0,1,1)$ + z $(1,0, - 7)$
non dovrei ottenere la prima colonna della matrice associata rispetto a B???
$(1,1,0)$ = x $(1,2, -4)$ + y $(0,1,1)$ + z $(1,0, - 7)$
non dovrei ottenere la prima colonna della matrice associata rispetto a B???
Se $A$ è la matrice di cambiamento di base e T' è la matrice associata alla trasformazione riferita alla base canonica allora
$A^{-1}TA\bb{ v} = T'\bb{ v}$
In altre parole $T = AT'A^{-1}$
La matrice $A$ è la matrice
$((1,0,1),(2,1,0),(-4,1,-7))$
La matrice $A^{-1}$ la puoi trovare con vari metodi. Io ho usato un programma e mi è venuto
$((7,-1,1),(-14,3,-2),(-6,1,-1))$
La matrice $T'$ invece è la matrice
$((1,1,0),(2,-1,-1),(0,2,1))$
Quindi
$T= ((1,0,1),(2,1,0),(-4,1,-7))((1,1,0),(2,-1,-1),(0,2,1))((7,-1,1),(-14,3,-2),(-6,1,-1))$
[...]
Comunque in generale si, risolvendo quei 3 sistemi dovresti arrivare alla soluzione. Tieni comunque conto che siccome risolvi 3 volte il sistema con la stessa matrice ti conviene ridurre la matrice in forma triangolare (la così detta decomposizione LU). Ma se non la conosci puoi risolverlo le tre volte.
EDIT: ho visto l'errore e sostituito. Se tu scambi $A$ con $A^{-1}$ viene giusto ma non dovrebbe essere così. Dal punto di vista teorico ha senso metterli come ho scritto io perché tu parti da un vettore scritto come combinazione dei vettori di $B$ e lo mani in un vettore della base canonica (attraverso $A^{-1}$), quindi applichi T e quindi esprimi il vettore nella base $B$ applicando $A$.
$A^{-1}TA\bb{ v} = T'\bb{ v}$
In altre parole $T = AT'A^{-1}$
La matrice $A$ è la matrice
$((1,0,1),(2,1,0),(-4,1,-7))$
La matrice $A^{-1}$ la puoi trovare con vari metodi. Io ho usato un programma e mi è venuto
$((7,-1,1),(-14,3,-2),(-6,1,-1))$
La matrice $T'$ invece è la matrice
$((1,1,0),(2,-1,-1),(0,2,1))$
Quindi
$T= ((1,0,1),(2,1,0),(-4,1,-7))((1,1,0),(2,-1,-1),(0,2,1))((7,-1,1),(-14,3,-2),(-6,1,-1))$
[...]
Comunque in generale si, risolvendo quei 3 sistemi dovresti arrivare alla soluzione. Tieni comunque conto che siccome risolvi 3 volte il sistema con la stessa matrice ti conviene ridurre la matrice in forma triangolare (la così detta decomposizione LU). Ma se non la conosci puoi risolverlo le tre volte.
EDIT: ho visto l'errore e sostituito. Se tu scambi $A$ con $A^{-1}$ viene giusto ma non dovrebbe essere così. Dal punto di vista teorico ha senso metterli come ho scritto io perché tu parti da un vettore scritto come combinazione dei vettori di $B$ e lo mani in un vettore della base canonica (attraverso $A^{-1}$), quindi applichi T e quindi esprimi il vettore nella base $B$ applicando $A$.
nella terza colonna della matrice T' non dovrebbero esserci (0,2,1) ?
damn viene ma non ha senso XD
"j18eos":
Edge hai quasi ragione, secondo quanto hai detto [tex]T(\underline{b_i})[/tex] deve essere rappresentato nella base [tex]B[/tex] (ecco l'errore) e le sue coordinate determinano la [tex]i[/tex]-esima colonna della matrice associata a [tex]T[/tex] in [tex]B[/tex]!
Quando ho detto è qui l'errore sono stato frainteso poiché è proprio la mancanza di ciò che vanificava il ragionamento di edge!
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