Matrice associata
Ciao a tutti, avrei bisogno ancora del vostro aiuto............
Devo trovare la matrice che rappresenta la trasformazione lineare $L:R^2->R^2$ rispetto alla base $e1$ ed $e2$
$L=(a*e1 + b*e2 ) = (2a+b)e1+be2$
con $e1=(1,2) e2=(2,0)$
Non ho capito cosa dovrei fare, non ho neanche un esempio infatti in tutti gli esercizi che ho mi viene già data la matrice ma vorrei anche capire però come va ricavata.......
Grazie
Devo trovare la matrice che rappresenta la trasformazione lineare $L:R^2->R^2$ rispetto alla base $e1$ ed $e2$
$L=(a*e1 + b*e2 ) = (2a+b)e1+be2$
con $e1=(1,2) e2=(2,0)$
Non ho capito cosa dovrei fare, non ho neanche un esempio infatti in tutti gli esercizi che ho mi viene già data la matrice ma vorrei anche capire però come va ricavata.......
Grazie
Risposte
Ha per colonne le immagini dei vettori espressi nella base del nuovo riferimento del codominio
qualcosa di concreto no?
mi faresti un esempio applicato all'esercizio da me proposto?
Un copia e incolla della definizione non mi è molto utile se sono quì a chiedere consigli è forse perchè dalla def non ho ben capito il da farsi......
mi faresti un esempio applicato all'esercizio da me proposto?
Un copia e incolla della definizione non mi è molto utile se sono quì a chiedere consigli è forse perchè dalla def non ho ben capito il da farsi......
Io da profano, ora sto ricominciando a ripetere tutto direi che.
Tu hai:
$L=(a*e_1+b*e_2)=(a(1,2)+b(2,0))=(a+2b,2a)$
la matrice forse è:
$((a+2b),(2a))$
Tu hai:
$L=(a*e_1+b*e_2)=(a(1,2)+b(2,0))=(a+2b,2a)$
la matrice forse è:
$((a+2b),(2a))$
Scusami Fenix88, ma sinceramente non si capisce come è definita l'applicazione $L:RR^2\to RR^2$.
Tu scrivi:
Questo però non spiega come agisce l'applicazione lineare $L$.
Puoi copiare meglio la traccia?
Tu scrivi:
"Fenix87":
$L=(a*e1 + b*e2 ) = (2a+b)e1+be2$
con $e1=(1,2) e2=(2,0)$
Questo però non spiega come agisce l'applicazione lineare $L$.
Puoi copiare meglio la traccia?
Ti riporto il testo del libro per essere più precisi:
http://img249.imageshack.us/img249/3863 ... tolo2t.jpg
http://img249.imageshack.us/img249/3863 ... tolo2t.jpg
Ah, ecco c'era un $=$ di troppo.
Il trucco è sempre lo stesso: applicare la definizione di matrice associata.
Calcola l'immagine di $e_1$ (ovvero per $a=1$ e $b=0$). Le componenti di tale immagine rispetto alla base $e_1,e_2$ andranno a costituire la prima colonna della tua matrice.
Poi passa ad $e_2$.
Il trucco è sempre lo stesso: applicare la definizione di matrice associata.
Calcola l'immagine di $e_1$ (ovvero per $a=1$ e $b=0$). Le componenti di tale immagine rispetto alla base $e_1,e_2$ andranno a costituire la prima colonna della tua matrice.
Poi passa ad $e_2$.
Ti chiedo scusa ma potresti scrivermi la matrice associata?(il risultato)
Mi sto rendendo conto che questo corso è stato fatto con i piedi! Non ho saltato una lezione eppure non ho mai sentito parlare di calcolare l'immagine....lo so potreste dire che non ho sentito io ma abbiamo fatto la metà delle ore previste e la maggior parte di queste le abbiamo passate a guardare il prof che non si trovava con i risultati del libro..........
Mi sto rendendo conto che questo corso è stato fatto con i piedi! Non ho saltato una lezione eppure non ho mai sentito parlare di calcolare l'immagine....lo so potreste dire che non ho sentito io ma abbiamo fatto la metà delle ore previste e la maggior parte di queste le abbiamo passate a guardare il prof che non si trovava con i risultati del libro..........
E' facilissimo.
Calcolo l'immagine mediante $L$ di $e_1$ (basta porre $a=1$ e $b=0$ nella definizione di $L$) e la scrivo come combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$:
$L(e_1)=2e_1=2 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2$.
Quindi la prima colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base $(e_1,e_2)$ è $((2),(0))$.
Calcolo l'immagine mediante $L$ di $e_2$ (basta porre $a=0$ e $b=1$ nella definizione di $L$) e la scrivo come combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$:
$L(e_2)=e_1+e_2=1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2$.
Quindi la seconda colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base $(e_1,e_2)$ è $((1),(1))$.
La matrice associata è dunque $((2,1),(0,1))$.
Calcolo l'immagine mediante $L$ di $e_1$ (basta porre $a=1$ e $b=0$ nella definizione di $L$) e la scrivo come combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$:
$L(e_1)=2e_1=2 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2$.
Quindi la prima colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base $(e_1,e_2)$ è $((2),(0))$.
Calcolo l'immagine mediante $L$ di $e_2$ (basta porre $a=0$ e $b=1$ nella definizione di $L$) e la scrivo come combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$:
$L(e_2)=e_1+e_2=1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2$.
Quindi la seconda colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base $(e_1,e_2)$ è $((1),(1))$.
La matrice associata è dunque $((2,1),(0,1))$.
Grazie mille ma a questo punto perchè mi vengono date le coordinate delle basi?A che mi servono se per calcolare la matrice non le ho usate?
O mi servono per calcolare la matrice nella base canonica?
O mi servono per calcolare la matrice nella base canonica?
"Fenix87":
Grazie mille ma a questo punto perchè mi vengono date le coordinate delle basi?A che mi servono se per calcolare la matrice non le ho usate?
O mi servono per calcolare la matrice nella base canonica?
La terza è la risposta esatta.
In questo esercizio, non servivano a niente. Però ne hai bisogno se vuoi calcolare la matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica.
Ok grazie ho capito, invece per avere la Matrice nella base canonica cosa dovrei fare?Ormai finiamo l'opera............................
Devi scrivere innanzitutto i vettori della base canonica come combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$.
Poi calcoli l'immagine dei vettori della base canonica, sfruttando la linearità di $L$.
In parole povere, scrivi $(1,0)=a\cdot e_1+b\cdot e_2$ e trovi $a$ e $b$.
Poi puoi calcolare $L(0,1)=...$ e trovare la prima colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica.
Dopo puoi ripetere il procedimento per il secondo vettore della base canonica.
Poi calcoli l'immagine dei vettori della base canonica, sfruttando la linearità di $L$.
In parole povere, scrivi $(1,0)=a\cdot e_1+b\cdot e_2$ e trovi $a$ e $b$.
Poi puoi calcolare $L(0,1)=...$ e trovare la prima colonna della matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica.
Dopo puoi ripetere il procedimento per il secondo vettore della base canonica.
Ehy io l'ho fatto con le indicazioni di cirasa.
Va bene cosi? Posto i vari calcoli.
$(1,0)=ae_1+be_2$
$(1,0)=a(1,2)+b(2,0)$
$(1,0)=(a+2b,2a)$
${(a+2b=1);(2a=0)}$
$a=0$ e $b=1/2$
poi per $L(0,1)$
$(0,1)=ae_1+be_2$
$(0,1)=a(1,2)+b(2,0)$
$(0,1)=(a+2b,2a)$
${(a+2b=0);(2a=1)}$
trovo $a=1/2$ e $b=-1/4$
la matrice associata dovrebbe essere:
$((0,1/2),(1/2,-1/4))$
vi trovate con me?
Va bene cosi? Posto i vari calcoli.
$(1,0)=ae_1+be_2$
$(1,0)=a(1,2)+b(2,0)$
$(1,0)=(a+2b,2a)$
${(a+2b=1);(2a=0)}$
$a=0$ e $b=1/2$
poi per $L(0,1)$
$(0,1)=ae_1+be_2$
$(0,1)=a(1,2)+b(2,0)$
$(0,1)=(a+2b,2a)$
${(a+2b=0);(2a=1)}$
trovo $a=1/2$ e $b=-1/4$
la matrice associata dovrebbe essere:
$((0,1/2),(1/2,-1/4))$
vi trovate con me?
Riprendo i calcoli di clever per concludere l'esercizio.
E questo è ok. Dunque $(1,0)=1/2\cdot e_2$.
Ora devo trovare $L(1,0)$ (non posso fermarmi qui, clever!)
$L(1,0)=L(1/2e_2)=1/2L(e_2)=1/2(e_1+e_2)=1/2(3,2)=(3/2,1)$.
Quindi la matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica è così fatta sulla prima colonna $((3/2,...),(1,...))$.
Se qualcuno ne ha voglia può proseguire sulla seconda colonna..
"clever":
Ehy io l'ho fatto con le indicazioni di cirasa.
Va bene cosi? Posto i vari calcoli.
$(1,0)=ae_1+be_2$
$(1,0)=a(1,2)+b(2,0)$
$(1,0)=(a+2b,2a)$
${(a+2b=1),(2a=0):}$
$a=0$ e $b=1/2$
E questo è ok. Dunque $(1,0)=1/2\cdot e_2$.
Ora devo trovare $L(1,0)$ (non posso fermarmi qui, clever!)
$L(1,0)=L(1/2e_2)=1/2L(e_2)=1/2(e_1+e_2)=1/2(3,2)=(3/2,1)$.
Quindi la matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica è così fatta sulla prima colonna $((3/2,...),(1,...))$.
Se qualcuno ne ha voglia può proseguire sulla seconda colonna..
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